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'''第n項測試'''（'''the n-th term test for divergence'''）是數學上測試[[無窮級數]]是否[[發散]]的一個方式<ref name="Kaczor">Kaczor p.336</ref>。

*若 <math>\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> 或極限不存在，則 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> 發散。

許多數學書籍的作者沒有為上述的測試方式命名<ref name="Rudin">如Rudin (p.60)只提到其相反位置（contrapositive）的形式，沒有命名。Brabenec (p.156)稱此測試為'''''nth'' term test'''。Stewart (p.709)稱此測試為'''Test for Divergence'''。</ref> 

==用途==
項測試和其他較強的[[審斂法|收斂測試]]不同，此測試方式只能確認級數是否發散，不能確認級數是否[[收斂級數|收斂]]。若不符合此測試的條件，無法判定級數是收斂或是發散。例如：
*若 <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math> 則 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> 可能收斂也可能發散，此條件下無法用此測試判定級數是否收斂。

[[調和級數]]就是不符合此測試的發散條件，卻又是發散級數的典型範例。調和級數是以下p級數的特例：
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},</math>

配合項測試及其他測試，可得到以下的結果：
*若''p'' ≤ 0，根據項測試可知此級數發散。
*若0 < ''p'' ≤ 1，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據[[積分判別法]]可判定此級數發散。
*若1 < ''p''，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數收斂。

==證明==
要證明此測試法，一般都會證明其[[逆否命题]]（contrapositive）形式；
*若<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>收斂，則<math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0.</math>

===利用極限證明===
若 ''s''<sub>''n''</sub> 是級數的部份和，則上述對數列的假設可推得
:<math>\lim_{n\to\infty} s_n = s</math>
因此可得<ref>Brabenec p.156; Stewart p.709</ref>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = s-s = 0.</math>

===柯西判別法===
級數收斂的假設表示級數可以滿足[[柯西判別法]]的測試：對任意<math>\varepsilon>0</math>均存在一數字''N''使得

:<math>|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon</math>
在所有''n'' > ''N''及''p'' ≥ 1的條件下均成立。令''p'' = 1，即可得到<ref>Rudin (pp.59-60)也使用此證明的概念，但用另一種陳述柯西判別法的方式</ref>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = 0.</math>

==應用範圍==
項測試最簡單的版本可以用在[[實數]]的無窮級數中。上述的二個證明也可以在適用在[[賦範向量空間]]中<ref>Hansen p.55; Șuhubi p.375</ref>。

==腳註==
{{reflist}}

==參考資料==
*{{cite book |last=Brabenec |first=Robert |title=Resources for the study of real analysis |year=2005 |publisher=MAA |id=ISBN 0883857375}}
*{{cite book |last=Hansen |first=Vagn Lundsgaard |title=Functional Analysis: Entering Hilbert Space |url=https://archive.org/details/functionalanalys0000hans |year=2006 |publisher=World Scientific |id=ISBN 9812565639}}
*{{cite book |author=Kaczor, Wiesława and Maria Nowak |title=Problems in Mathematical Analysis |year=2003 |publisher=American Mathematical Society |id=ISBN 0821820508}}
*{{cite book |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of mathematical analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |edition=3e |year=1976 |origyear=1953 |publisher=McGraw-Hill |id=ISBN 0-07-054235-X}}
*{{cite book |last=Stewart |first=James |title=Calculus: Early transcendentals |edition=4e |year=1999 |publisher=Brooks/Cole |id=ISBN 0-534-36298-2}}
*{{cite book |last=Șuhubi |first=Erdoğan S. |title=Functional Analysis |year=2003 |publisher=Springer |id=ISBN 1402016166}}

[[Category:级数]]