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[[數學]]中的'''頂點算子代數'''（{{lang-en|Vertex operator algebra}}，[[縮寫]]：'''VOA'''）為一代數結構，於二維[[共形場論]]及[[弦論]]扮演了非常重要的角色，此外並應用在物理上，而頂點算子代數在基礎數學方面更已經被證實其用處，如在[[怪獸月光理論]]及[[幾何朗蘭茲綱領]]。

因著[[Igor Frenkel]]曾提出想構造一無限維李代數，1986年由[[理查德·博赫兹]](Richard Borcherds)提出一個相關的名詞 '''頂點代數'''，在這樣的路徑發展後，人們允以附絡向量之頂點算子作用之[[Fock 空間]]，而Borcherds 透過將絡頂點算子間的關聯及名詞公理化後，造出允許Frenkel所提方法構造新李代數的代數結構。

頂點算子代數的名詞引入則是於1988年由Igor Frenkel、[[James Lepowsky]]與 [[Arne Meurman]]修正頂點代數後而被正式提出，作為它們計畫中構造[[月光模]]的部分方法。他們發現很多的頂點代數很自然地就給出了有用的加法結構(Virasoro 代數之作用)，並且滿足關於能量算子之有界下方性質，基於如此的觀察，他們添加了Virasoro 作用與有界下方性質於所提公理中。

名詞提出後我們亦於物理上觀察並檢核這些名詞的概念，並有起初公理提出時並未明的幾種解釋。物理上，頂點算子是在允許[[算子積展開]]附加之二維共形場中，由其上的點上附加全純場而提出 (i.e., 頂點) ，而其所附加的全純場相互碰撞時，並恰好滿足頂點算子代數公理下所指之關聯性。實際上，頂點算子代數公設就是物理學家稱為[[chiral代數]]或 "chiral對稱代數"的正式代數解釋，而該對稱代數描述了由共形場論給出包含保守不變量的Ward恆等式。其餘頂點代數公理之公式包含博赫茲後續於奇異交換環的工作、由Huang, Kriz等提出於某曲線上算子上之代數、以及由[[亞歷山大·貝林森]](Alexander Beilinson)和[[弗拉基米爾·德林費爾德]](Vladimir Drinfeld)提出稱為chiral代數 [[D-模]]-理論之物等<ref>{{cite web |url=http://www.math.uchicago.edu/~arinkin/langlands/chiral |title=存档副本 |accessdate=2006-12-09 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080830023910/http://www.math.uchicago.edu/~arinkin/langlands/chiral/ |archivedate=2008-08-30 }}</ref>。然這些擬chiral代數並不完全與物理學家所用之物等同。

頂點算子代數基礎之重要例子包含絡頂點算子代數(用以模式化絡保守場論)、由仿射 [[卡茨-穆迪代數]] (自[[Wess-Zumino-Witten模型|WZW模型]])之表示給定之頂點算子代數、Virasoro 頂點算子代數 (i.e.,對應 [[維拉宿代數]]表示之頂點算子代數) 與 [[月光模]] ''V''<sup>♮</sup>等；至於較複雜的例子就如由幾何表示理論及[[數學物理]]引出在複流形上的[[仿射 W-代數]]與[[chiral de Rham複叢]]等。

== 定義 ==

一'''頂點代數'''由以下資料組成： 
*向量空間''V'', 
*「單位元」'''1'''<math>\in</math>'''V''' ,
*自態射 ''T'', 
*乘法性映射: <math>Y:V\otimes V\to V((z))</math> 或書作 <math>(a,b)\mapsto Y(a,z)b = \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n b z^{-n-1}</math> ；

並滿足以下條件：:
#('''單位''')''V''中每一元 ''a'',均符合
:<math>Y(1,z)a = a = az^0</math> and <math>Y(a,z)1 \in a + zV[[z]]</math>

#('''位移''') ''T(1) = 0'', 且''V''中每元''a'', ''b'', 均符合
:<math>Y(a,z)Tb - TY(a,z)b = \frac{d}{dz}Y(a,z)b</math>

#('''四頂點函數''')''V''中每元''a'', ''b'', ''c'' , 均符合 
:<math>X(a,b,c;z,w) \in V[[z,w]][z^{-1}, w^{-1}, (z-w)^{-1}]</math>
其中 ''Y(a,z)Y(b,w)c'', ''Y(b,w)Y(a,z)c'', 與 ''Y(Y(a,z-w)b,w)c'' 分别為  ''X(a,b,c;z,w)''  在''V((z))((w))'' , ''V((w))((z))'', 與 ''V((w))((z-w))''中之級數展開式.

此乘法映射常被寫作「{{le|狀態—場 對應|state-field correspondence}}」（state-field correspondence）：
:<math>Y: V \to (End V)[[z^{\pm 1}]]</math>,
給'''V'''中每一向量配上一支以算子為值之{{le|形式分佈|formal distribution}}（formal distribution），稱作「'''頂點算子'''」；其物理意義為在原點插入一算子。''T''則是無窮小位移之一生成元。 「四頂點函數」公理統一了（誤差不過奇異值之）[[結合律]]與[[交換律]]。 位移公理涵蘊
''Ta = a<sub>-2</sub>'''''1''', 故''Y'' 的值決定了''T'' 的值。

===分階頂點代數===
一'''Z'''<sub>+</sub>-'''分階頂點代數'''為
*一頂點代數''V'':
*''V''的分階:
**:<math>V = \bigoplus_{n=0}^\infty V_n\,</math>
使每''a'' &isin; V<sub>k</sub> 與 ''b'' &isin; V<sub>m</sub>, 符合''a''<sub>n</sub> ''b'' &isin; V<sub>k+m-n-1</sub>.

設有一'''Z'''<sub>+</sub>-分階頂點代數. 其一 Virasoro 元 為 ''V''中<sub>2</sub> 一元 &omega; , 使頂點算子
:<math>Y(\omega, z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \omega_{(n)} {z^{-n-1}} = \sum_{n\in\mathbb{Z}} L_n z^{-n-2}</math>
符合以下條件: ''V''<sub>n</sub> 中每一元 ''a''符合: 
#<math>L_0 a = na</math>
#<math>Y(L_{-1} a, z) = \frac{d}{dz} Y(a, z) = [Y(a,z),T]</math>
#<math>[L_m, L_n]a = (m - n)L_{m + n}a + \delta_{m + n, 0} \frac{m^3-m}{12}ca</math>
</ul>
其中 ''c'' 為一常值，稱「[[中心荷]]」（central charge）， 或「''V''之[[秩]]」。 此亦使''V''成為 [[維拉宿代數]]的一表示。

== 參考資料 ==

* Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA.'' '''83''' (1986) 3068-3071
* Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. ''Pure and Applied Mathematics, 134.''  Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5 
* Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. ''Mathematical Surveys and Monographs, 88.''  American Mathematical Society, 2001.  xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
* Huang Yi Zhi,《Two-Dimensional Conformal Geometry and Vertex Operator Algebras》(Progress in Mathematics) ISBN 0817638296
* Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, ''University Lecture Series, 10.'', 亞美利根數學會, 1996. ISBN 0-8218-0643-2

==註 ==
<references/>

[[Category:李代數|D]]
[[Category:共形場論|D]]