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[[File:Saddle_point.png|thumb|<math>z=x^2 - y^2\,</math>的鞍點在 (0,0)]]

'''鞍點'''（{{lang-en|Saddle point}}）指一個非[[極值|局部極值點]]的[[駐點]]。鞍點這詞語來自於[[不定矩阵|不定]][[二次型]]<math>x^2 - y^2\,</math>的二維圖形，像個馬鞍：在x-軸-{方向}-往上曲，在y-軸-{方向}-往下曲。

==数学描述==
廣義而說，一個[[光滑函數]]（[[曲線]]、[[曲面]]或[[超曲面]]）的鞍點[[鄰域]]的曲線、曲面或超曲面，都位於马鞍点點的[[切線]]的不同邊。

==检验==
检验二元实函数''F''(''x'',''y'')的[[驻点]]是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的[[黑塞矩阵]]：如果該矩陣行列式小于0，则该点就是鞍点。例如，函数<math>z=x^2-y^2</math>在驻点<math>(0, 0)</math>的[[黑塞矩阵]]是：
: <math>\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & -2 \\
\end{bmatrix}</math>
此矩阵有两个特征值2，－2。它的行列式小於0，因此，这个点是鞍点。然而，这个条件只是充分条件，例如，对于函数<math>z=x^4-y^4,</math>点<math>(0, 0)</math>是一个鞍点，但函数在原点的[[黑塞矩阵]]是[[零矩阵]]，并不小於0。 

对于一般的多元函数，点是鞍点的[[必要条件]]是该点的[[黑塞矩阵]]不定。

==性质==
[[File:x_cubed_plot.gif|thumb|150px|<math>y=x^3\,</math>的鞍點在 (0,0)，不过一維鞍點看起來並不像馬鞍]]
在一維空間裏，鞍點是[[駐點]]，也是[[反曲點]]。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹，或由凹轉凸，鞍點不是區域性[[極值|極點]]。

设一個只有一個變數的函數。這函數在鞍點的一次導數等於零，二次導數換正負符號·例如，函數
<math>y=x^3\,</math>就有一個鞍點在原點。

[[File:Saddle_pt.jpg|thumb|150px|兩座山中間的鞍點（[[雙紐線]]的交叉點）]]
设一個擁有兩個以上變數的函數。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅[[等高線圖]]裏，一般來說，當兩個等高線圈圈相交叉的地點，就是鞍點。例如，兩座山中間的[[山口]]就是一個鞍點。

==参见==
* [[驻点]]
* [[拐点]]
* [[极值]]
* [[鞍部]]

==参考文献==
* {{citation |last1=Gray, |first1=Lawrence F.|last2=Flanigan|first2=Francis J.|last3=Kazdan|first3=Jerry L.|last4=Frank|first4=David H|last5=Fristedt|first5=Bert |title=Calculus two: linear and nonlinear functions |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1990 |pages= page 375|isbn=0-387-97388-5 |oclc= |doi=}}
* {{Citation | last1=Hilbert | first1=David | author1-link=David Hilbert | last2=Cohn-Vossen | first2=Stephan | author2-link=Stephan Cohn-Vossen | title=Geometry and the Imagination | publisher=Chelsea | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-8284-1087-8 | year=1952 }}
* {{citation|first=Tobias|last=von Petersdorff|url=http://www.wam.umd.edu/~petersd/stab.html|chapter=Critical Points of Autonomous Systems|year=2006|title=Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes)|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070103160734/http://www.wam.umd.edu/%7Epetersd/stab.html|archivedate=2007-01-03}}
* {{citation |last=Widder|first=D. V. |title=Advanced calculus |publisher=Dover Publications |location=New York |year=1989 |pages=page 128 |isbn=0-486-66103-2 |oclc= |doi=}}
</small>

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[[Category:微分学|A]]
[[Category:稳定性理论]]