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[[概率论]]中，'''鞅表示定理'''指出，相对于[[维纳过程|布朗运动]]产生的[[过滤 (概率论)|过滤]][[可测]]随机变量可以用相对于布朗运动的[[伊藤积分]]来表示。

定理仅指出了表示的存在，但没有说明如何找到。许多情况下，可以用[[马利亚万积分]]确定表示的形式。

类似定理也存在于由[[跳跃过程]]（如[[马尔可夫链]]）产生的滤波上的[[鞅 (概率论)|鞅]]。
 
==表达==
令<math>B_t</math>为标准过滤概率空间<math>(\Omega, \mathcal{F},\mathcal{F}_t, P )</math>上的[[维纳过程|布朗运动]]，并令<math>\mathcal{G}_t</math>为<math>B</math>生成的强化滤波。若''X''是关于<math>\mathcal{G}_\infty</math>的[[平方可积函数|平方可积]]随机变量，则存在关于<math>\mathcal{G}_t,</math>的[[可预测过程]]''C''，使

:<math>X = E(X) + \int_0^\infty C_s\,dB_s.</math>
因此
:<math> E(X| \mathcal{G}_t) = E(X) + \int_0^t C_s \, d B_s.</math>

==在金融学的应用==
鞅表示定理可用来确定[[对冲]]策略的存在性。假设<math>\left ( M_t \right )_{0 \le t < \infty}</math>是Q鞅过程，其[[波动性]]<math>\sigma_t</math>非零。则若<math>\left ( N_t \right )_{0 \le t < \infty}</math>是任何其他Q鞅过程，就存在<math>\mathcal{F}</math>可料过程<math>\varphi</math>，对零测集是唯一的，这样<math>\int_0^T \varphi_t^2 \sigma_t^2 \, dt < \infty</math>的概率为1，且''N''可以写成：
:<math>N_t = N_0 + \int_0^t \varphi_s\, d M_s.</math>

复制策略定义为
* 在''t''时刻持有<math>\varphi_t</math>单位股票，且
* 持有<math>\psi_t B_t =  C_t - \varphi_t Z_t</math>单位债券。

其中<math>Z_t</math>是债券价格贴现到时间<math>t</math>时的股价，<math>C_t</math>是期权在时间<math>t</math>时的预期收益。

在到期日''T''，投资组合的价值为：
:<math>V_T = \varphi_T S_T + \psi_T B_T = C_T = X</math>

且很容易检查出该策略是自负盈亏的：投资组合价值的变化只取决于资产价格变化<math>\left ( dV_t = \varphi_t \, dS_t + \psi_t\, dB_t \right ) </math>。

==另见==
* [[反向随机微分方程]]

==参考文献==
{{Reflist}}
*Montin, Benoît. (2002) "Stochastic Processes Applied in Finance" <ref>{{cite web|title=martingale|url=https://roulette77australia.com/roulette-strategies/martingale|date=May 19, 2023|access-date=2023-11-12|archive-date=2023-09-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20230921143526/https://roulette77australia.com/roulette-strategies/martingale|dead-url=no}}</ref>
*[[Robert J. Elliott|Elliott, Robert]] (1976) "Stochastic Integrals for Martingales of a Jump Process with Partially Accessible Jump Times", ''Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete'', 36, 213–226

[[Category:概率论定理]]