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'''鞅中心极限定理'''是[[概率论]]中的一个定理，对有界的随机变量而言，常见的经典[[中心极限定理]]是它的特殊情形。经典[[中心极限定理]]说，在一定条件下，[[独立同分布|独立同分布（i.i.d.）]]的[[随机变量]]之和，乘以适当的标准化因数后，会[[随机变量的收敛|依分布收敛于]]标准[[正态分布]] 。而鞅中心极限定理将[[独立 (概率论)|独立性]]假设放宽为：这些随机变量只需构成一个[[鞅 (概率论)|鞅]]中的随机增量（鞅是一种[[随机过程]] ，其从时间 <math>t</math> 到时间 <math>t+1</math> 的增量，在给定时间 1 到 <math>t</math> 观测值的条件下，其条件[[期望值|数学期望]]为零）。

== 定理内容 ==
鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下：令随机变量 <math>X_1, X_2, \dots\,</math> 构成一个[[鞅 (概率论)|鞅]]，即满足条件： 

: <math>\mathbb{E}[X_{t+1} - X_t \vert X_1,\dots, X_t]=0\,,</math>  （鞅的定义）

进一步假设这个鞅是有限增量的，即：存在一个固定常数 <math>k>0</math> ，有： 

: <math>|X_{t+1} - X_t| \le k</math>

对所有 <math>t</math> 成立。 另假设<math>|X_1|\le k</math> 也成立。 定义增量的条件方差为：

: <math>\sigma_t^2 = \mathbb{E}[(X_{t+1}-X_t)^2|X_1, \ldots, X_t],</math>

并假设所有条件方差之和发散，即下式以概率1成立：

: <math>\sum_{t=1}^\infty \sigma_t^2 = \infty</math>

据此，对任意给定的常数 <math>\nu>0</math> ，可以定义：

: <math>\tau_\nu = \min\left\{t : \sum_{i=1}^{t} \sigma_i^2 \ge \nu\right\}.</math>

在所有上述假设成立的条件下，鞅中心极限定理做出如下结论：标准化的鞅随机变量： 

: <math>\frac{X_{\tau_\nu}}{\sqrt{\nu}}</math>

随着 <math>\nu \to +\infty \!</math> 将会[[依分布收敛]]于[[正态分布|标准正态分布]]。

== 随机增量的条件方差之和必须发散 ==

上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大，即以下条件以概率1成立： 

: <math> \sum_{t=1}^{\infty} \sigma_t^2 = \infty </math>

这样可以确保以概率1，下式成立： 

: <math> \tau_v < \infty, \forall v \geq 0 </math>

并不是所有鞅都满足这个条件，例如恒为零的平凡鞅。

== 定理的直观理解 ==

可以通过将 <math>\frac{X_{\tau_\nu}}{\sqrt{\nu}}</math> 如下变形来更好地理解鞅中心极限定理： 

: <math> \frac{X_{\tau_v}}{\sqrt{v}} = \frac{X_1}{\sqrt{v}} + \frac{1}{\sqrt{v}} \sum_{i=1}^{\tau_v-1} (X_{i+1}-X_i) , \forall \tau_v \geq 1 </math>

右边的第一项渐近收敛于零，可以忽略。第二项在形式上，与独立同分布随机增量的经典[[中心极限定理]]相似，虽然其中被求和项 <math>X_{i+1}-X_i</math> 互相之间未必独立，但由鞅的定义易知它们互不相关的，因为： 

: <math> \mathbb{E}[(X_{i+1}-X_i)(X_{i+m+1}-X_{i+m})] =  \mathbb{E}[\mathbb{E}[(X_{i+1}-X_i)(X_{i+m+1}-X_{i+m})|X_1,\ldots,X_{i+m}]] = 0  </math>


== 参考文献 ==

* {{Cite book|first=Peter|last=Hall|last2=C. C. Heyde|year=1980|title=Martingale Limit Theory and Its Application|url=https://archive.org/details/martingalelimitt0000hall|publisher=Academic Press|location=New York|isbn=0-12-319350-8}} <bdi> {{Cite book|first=Peter|last=Hall|last2=C. C. Heyde|year=1980|title=Martingale Limit Theory and Its Application|url=https://archive.org/details/martingalelimitt0000hall|publisher=Academic Press|location=New York|isbn=0-12-319350-8}} </bdi> {{Cite book|first=Peter|last=Hall|last2=C. C. Heyde|year=1980|title=Martingale Limit Theory and Its Application|url=https://archive.org/details/martingalelimitt0000hall|publisher=Academic Press|location=New York|isbn=0-12-319350-8}} 
* 有关定理5.4的讨论以及推论5.3（ii）的正确形式，请参见{{Cite journal|title=On some results of MI Gordin: a clarification of a misunderstanding|last=Bradley|first=Richard|journal=Journal of Theoretical Probability|publisher=Springer|issue=2|doi=10.1007/BF01046930|year=1988|volume=1|pages=115–119}}

{{Authority control}}
[[Category:中央極限定理]]
[[Category:统计理论]]