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{{NoteTA|G1=物理学|1=zh-hans:赫维赛德; zh-hant:黑維塞;}}
局域化的時變[[电荷]]和[[电流密度]]在真空中是[[电磁波]]的源。在有源的情形下，[[麦克斯韦方程组]]可以写成一个'''非齐次的电磁波方程'''（英文：{{lang|en|Inhomogeneous electromagnetic wave equation}}）的形式，正是因为波源的存在使得[[偏微分方程]]变为非齐次。

== 国际单位 ==

真空中的麦克斯韦方程组在含有电荷<math>  \rho </math>和电流<math>  \mathbf{J} </math>的情形下可以用[[磁矢势|矢势]]和[[电标势|标势]]表示为

:<math>  
   \nabla^2 \varphi + {{\partial } \over \partial t} \left (  \nabla \cdot  \mathbf{A} \right )  = - {\rho \over \varepsilon_0} </math>

:<math>  
   \nabla^2 \mathbf{A} - {1 \over c^2} {\partial^2 \mathbf{A} \over \partial t^2} - \nabla \left ( {1 \over c^2} {{\partial \varphi } \over {\partial t }} + \nabla \cdot  \mathbf{A} \right )  = - \mu_0 \mathbf{J} </math>

此时电场和磁场分别为

:<math>  \mathbf{E} = - \nabla \varphi  - {\partial \mathbf{A} \over \partial t}
   </math>

以及

:<math> \mathbf{B} = \nabla \times  \mathbf{A} 
   </math>.

如果加上[[洛伦茨规范条件]]

:<math> 
{1 \over c^2} {{\partial \varphi } \over {\partial t }} + \nabla \cdot  \mathbf{A} = 0

</math>

则非齐次的[[波动方程]]为

:<math>  
   \nabla^2 \varphi  - {1 \over c^2} {\partial^2 \varphi  \over \partial t^2}  = - {\rho \over \varepsilon_0} </math>      

:<math>  
   \nabla^2 \mathbf{A} - {1 \over c^2} {\partial^2 \mathbf{A} \over \partial t^2}   = - \mu_0 \mathbf{J} </math>      .

== 厘米-克-秒单位和洛伦兹-赫维赛德单位 ==

在[[厘米-克-秒制]]下，方程的形式为

:<math>  
   \nabla^2 \varphi  - {1 \over c^2} {\partial^2 \varphi \over \partial t^2}  = - {4 \pi \rho } </math>      

:<math>  
   \nabla^2 \mathbf{A} - {1 \over c^2} {\partial^2 \mathbf{A} \over \partial t^2}   = - {4 \pi \over c} \mathbf{J} </math>      

电场和磁场的形式为

:<math>  \mathbf{E} = - \nabla \varphi  - {1 \over c} {\partial \mathbf{A} \over \partial t}
   </math>

:<math>  \mathbf{B} =  \nabla \times  \mathbf{A} 
   </math>

洛伦茨规范条件为

:<math> 
{1 \over c} {{\partial \varphi } \over {\partial t }} + \nabla \cdot  \mathbf{A} = 0

</math>.

如果采取有时在高维相对论场合计算中使用的[[洛伦兹-赫维赛德单位制]]，电荷和电流密度需要从厘米-克-秒制变换为

:<math> 
\rho \rightarrow { \rho \over {4 \pi    }   }
</math>

:<math> 
\mathbf{J} \rightarrow {  1 \over {4 \pi     }   } \mathbf{J}
</math>.

== 非齐次波方程的协变形式 ==
{{see also|经典电磁理论的协变形式}}

在[[狭义相对论]]中，麦克斯韦方程组可以写成[[协变]]的形式：

:<math>\Box A^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \partial_{\beta} \partial^{\beta} A^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {A^{\mu , \beta}}_{\beta} = - \mu_0 J^{\mu}</math>     （国际单位制）
:<math>\Box A^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \partial_{\beta} \partial^{\beta} A^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {A^{\mu , \beta}}_{\beta} = - \frac{4 \pi}{c} J^{\mu}</math>
（厘米-克-秒制）

其中<math>J^{\mu}\,</math>是[[四维电流密度]]：

:<math>J^{\mu} = \left(c \rho, \mathbf{J} \right)</math>,

:<math>  { \partial \over { \partial x^a }   } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \partial_a \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {}_{,a} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  (\partial/\partial ct, \nabla)</math> 

是[[四维梯度]]，而[[电磁四维势]]为

:<math>A^{\mu}=(\varphi, \mathbf{A} c)</math>     （国际单位制） 
:<math> A^{\mu}=(\varphi, \mathbf{A} ) </math>    （厘米-克-秒制）

洛伦茨规范为

:<math>\partial_{\mu} A^{\mu} = 0</math>.

这里

:<math>\Box = \partial_{\beta} \partial^{\beta} = \nabla^2 - {1 \over c^2} \frac{   \partial^2} { \partial t^2}</math>是[[达朗贝尔算符]]。

== 弯曲时空 ==

{{see also|弯曲时空中的麦克斯韦方程组}}

电磁波方程在弯曲时空中需要做两处修正，分别是偏导数被替换为[[协变导数]]，以及增加了一项有关时空曲率的项。在国际单位制下

:<math> - {A^{\alpha ; \beta}}_{ \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} = \mu_0 J^{\alpha}  </math>

其中

:<math>  {R^{\alpha}}_{\beta}   </math>

是[[里奇曲率张量]]。 这里分号表示对角标求协变导数。对于厘米-克-秒制下的方程，需要用<math>  4 \pi / c   </math>替换[[真空磁导率]]。

这里假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

:<math>  {A^{\mu}}_{ ; \mu}  = 0 </math>

== 非齐次电磁波方程的解 ==

在波源周围没有[[边界条件]]的情形下，非齐次波方程在厘米-克-秒制下的解为

:<math> \varphi  (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | }   }    }  \rho (\mathbf{r}', t') d^3r' dt' </math>

以及

:<math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | }   }    }  { \mathbf{J}  (\mathbf{r}', t')\over c} d^3r' dt' </math>

其中

:<math>
{ \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   }
</math>

是[[狄拉克δ函数]]。

对于国际单位制，

:<math> 
\rho \rightarrow { \rho \over {4 \pi \varepsilon_0    }   }
</math>

:<math> 
\mathbf{J} \rightarrow {  \mu_0  \over {4 \pi     }   } \mathbf{J}
</math>.

对于洛伦兹-赫维赛德单位制，

:<math> 
\rho \rightarrow { \rho \over {4 \pi    }   }
</math>

:<math> 
\mathbf{J} \rightarrow {  1 \over {4 \pi     }   } \mathbf{J}
</math>.

这些解被称作推迟解，它们表示的是一族由波源向外发出的并从现在向未来传播的球面电磁波的[[线性叠加]]。

此外还有所谓超前解，表示为

:<math> \varphi  (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' - { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | }   }    }  \rho (\mathbf{r}', t') d^3r' dt' </math>

以及

:<math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' - { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | }   }    }  { \mathbf{J} (\mathbf{r}', t') \over c } d^3r' dt' </math>.

它们表示的是一族由波源向外发出的并从未来向现在传播的球面电磁波的线性叠加。

== 参见 ==
*[[波动方程]]
*[[电磁波方程]]
*[[电磁波方程的正弦平面波解]]
*[[拉莫尔公式]]
*[[麦克斯韦方程组在狭义相对论中的形式]]
*[[弯曲时空中的麦克斯韦方程组]]
*[[阿布拉罕-洛伦兹力]]

==  参考文献 ==
=== 电磁学 ===
==== 期刊论文 ====
* {{lang|en|James Clerk Maxwell, "[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field]", ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'' '''155''', 459-512 (1865).  (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)}}

==== 本科水平教科书 ====
*{{lang|en|{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998 |isbn=0-13-805326-X}}}}
*{{lang|en|{{cite book | author=Tipler, Paul | title=Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.) | url=https://archive.org/details/physicsforscient0002tipl | publisher=W. H. Freeman | year=2004 | isbn=0-7167-0810-8}}}}
* {{lang|en|Edward M. Purcell, ''Electricity and Magnetism'' (McGraw-Hill, New York, 1985).}}
* {{lang|en|Hermann A. Haus and James R. Melcher, ''Electromagnetic Fields and Energy'' (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X}}
* {{lang|en|Banesh Hoffman, ''Relativity and Its Roots'' (Freeman, New York, 1983).}}
* {{lang|en|David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, ''Electromagnetic Waves'' (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4}}
* {{lang|en|Charles F. Stevens, ''The Six Core Theories of Modern Physics'', (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.}}

==== 研究生水平教科书 ====
* {{lang|en|{{cite book |author=Jackson, John D.|title=Classical Electrodynamics (3rd ed.)|publisher=Wiley|year=1998|isbn=0-471-30932-X}}}}
* {{lang|en|[[列夫·朗道|Landau, L. D.]],  ''The Classical Theory of Fields'' (Course of Theoretical Physics: Volume 2),  (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).}}
* {{lang|en|{{cite book | author=Maxwell, James C. | title=A Treatise on Electricity and Magnetism | url=https://archive.org/details/treatiseonelectr0001maxw | publisher=Dover | year=1954 | isbn=0-486-60637-6}}}}
* {{lang|en| Charles W. Misner, [[基普·索恩|Kip S. Thorne]], [[约翰·惠勒|John Archibald Wheeler]], ''Gravitation'', (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. ''(Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)''}}

=== 矢量微积分 ===
* {{lang|en|H. M. Schey, ''Div Grad Curl and all that:  An informal text on vector calculus'', 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.}}

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