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数学中，[[自治系统]]指[[光滑流形]]上的动力方程；'''非自治系统'''（non-autonomous system）则是<math>\mathbb R</math>上的光滑[[纤维丛]]<math>Q\to \mathbb R</math>上的动力方程。这是[[非自治力学]]的情形。

纤维丛<math>Q\to \mathbb R</math>上的''r''阶微分方程由<math>Q\to \mathbb R</math>的[[节丛]]<math>J^rQ</math>的闭子丛表示。<math>Q\to \mathbb R</math>上的动力方程是微分方程，高阶导数可用代数方法求解。

特别地，纤维丛<math>Q\to \mathbb R</math>上的1阶动力方程是<math>Q\to \mathbb R</math>上某联络<math>\Gamma</math>的[[协变微商]]的核。给定''Q''上的丛坐标<math>(t,q^i)</math>和1阶节流形<math>J^1Q</math>上的适应（adapted）坐标<math>(t,q^i,q^i_t)</math>，1阶动力方程为

: <math>q^i_t=\Gamma (t,q^i).</math>

这是哈密顿[[非自治力学]]的情形。

<math>Q\to\mathbb R</math>上的2阶动力方程

: <math>q^i_{tt}=\xi^i(t,q^j,q^j_t)</math>

定义为节丛<math>J^1Q\to\mathbb R</math>上的完整（holonomic）联络<math>\xi</math>，此方程也可用[[仿射丛|仿射]]节丛<math>J^1Q\to Q</math>上的联络表示。由于规范嵌入<math>J^1Q\to TQ</math>，其等价于''Q''的切丛<math>TQ</math>上的测地线方程。非自治力学中的[[自由运动方程]]是2阶非自治动力方程的例子。

==另见==
* [[自治系统 (数学)]]
* [[非自治力学]]
* [[自由运动方程]]
* [[相对系统]]

== 参考文献 ==
*  De Leon, M., Rodrigues, P., Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics (North Holland, 1989).
* Giachetta, G., Mangiarotti, L., [[Gennadi Sardanashvily|Sardanashvily, G.]], Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010)   {{ISBN|981-4313-72-6}}  ({{arXiv|0911.0411}}).

[[Category:微分方程]]
[[Category:经典力学]]
[[Category:动力系统]]