查看“︁非線性控制”︁的源代码

[[Image:Feedback_loop_with_descriptions.svg|thumb|upright=2.0|回授[[控制系統]]，目的是控制一系統（受控系統）使其輸出可以追隨參考信號。感測器會將輸出轉換為信號，而控制器會將實際輸出的感測信號減去參考信號，應用所得到的誤差信號來控制受控系統，使其輸出接近參考信號。在非線性控制系統中，受控系統、感測器或是控制器中至少有一個是非線性的。]]

'''非線性控制'''（Nonlinear control）是[[控制理论]]中處理[[非線性]]系統的理論。控制理论本身是工程和[[数学]]的跨領域學科，探討[[动力系统]]在有輸入下的行為，以及如何利用[[反馈]]、[[前馈控制|前馈]]、信號[[濾波]]來改變輸入，以調整動力系統的輸出。被控制的系統會稱為[[受控體]]。有一個讓受控體輸出可以追隨參考信號的方法，就是將受控體輸出反馈到控制器，和參考信號比較，利用比較後的結果來改變受控體的輸入，使輸出可以追隨參考信號。

控制理论可以分為二種：[[線性控制理論]]可適用於元件均滿足[[叠加原理]]的系統（線性系統），其統御方程是線性的[[微分方程]]，線性系統中若其參數不會隨時間而改變，則稱為[[线性时不变系统理论|线性时不变]]（LTI）系統，這類系統可以用強大的[[頻域]]數學技巧加以分析，例如[[拉普拉斯变换]]、[[傅里叶变换]]、[[Z轉換]]、[[波德圖]]、[[根軌跡圖]]及[[奈奎斯特稳定判据]]。

非線性控制理論則是針對不符合叠加原理的系統（[[非線性系統]]），適用於較多的真實世界系統，因為所有真實世界的系統都是非線性的。其統御方程是非線性微分方程，要處理非線性控制的理論比較嚴謹，也比較不具一般性，只能適用在一些特定種類的系統。這些技術包括[[极限环]]理論、[[庞加莱映射]]、[[李亞普諾夫函數]]及[[描述函數]]。若只需要研究非線性系統在某穩定點附近行為，可以用近似的方式將非線性系統[[線性化]]，方法是將非線性解表示為無窮[[级数]]，再利用線性的技巧來處理<ref>{{Cite web |url=http://www.mathworks.com/help/toolbox/simulink/slref/trim.html |title=trim point |access-date=2019-04-03 |archive-date=2012-02-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120208235950/http://www.mathworks.com/help/toolbox/simulink/slref/trim.html }}</ref>。非線性系統一般會用[[電子計算機]]中的[[數值方法]]來分析，例如用{{link-en|仿真語言|simulation language}}來[[仿真]]其行為。有時雖然受控體是線性的，但使用非線性控制會讓實現更簡單、速度更快、更準確、或是控制需要的能量更少，不過在設計上可能也會比較困難。

非線性控制系統的例子是[[自動調溫器]]控制的加熱系統。大樓的溫控系統對溫度的變化有非線性的響應，可能是「開啟」或是「關閉」，不像線性比例控制的設備，可以針對溫度差作較精細的控制。因此，溫度需低於「開啟」的設定溫度後，加熱系統才會打開，之後因為加熱系統的作用，溫度會開始上昇，溫度高於「關閉」的設定溫度後，加熱系統會關閉，溫度漸漸下降。加熱系統就會依此循環運作。這個溫度的循環稱為[[极限环]]，就是非線性系統的特點之一。

== 非線性系統的特點 ==

以下是一些非線性系統的特點

*不遵守[[叠加原理]]
*有多個獨立的平衡點
*會有像[[极限环]]、[[分岔理論|分岔]]、[[混沌理论|混沌]]的特性。
<!--* Finite escape time: Solutions of nonlinear systems may not exist for all times.-->

== 非線性系統的分析及控制 ==
有許多針對非線性系統的分析及控制技巧：

* [[描述函數]]法
* [[相平面]]法
* [[李雅普诺夫稳定性]]分析
* [[奇异摄动]]法
* 針對絕對穩定性的[[波波夫判據]]及[[圓判據]] 
* [[中心流形定理]]
* [[小增益定理]]
* [[耗散性分析]]（Passivity analysis）

也有一些針對非線性系統的控制器設計技巧，可以分為幾類。一類是在可線性的範圍內，將非線性系統近似為線性系統，再用線性系統的方法處理：

* [[增益規劃]]

也有一些是用輔助的非線性回授，設法讓系統接近線性，以設計控制器：

* [[回授線性化]]

以及[[亞歷山大·李亞普諾夫|李亞普諾夫]]系列的方法：
* [[李亞普諾夫再設計]]
* [[控制李亞普諾夫函數]]
* [[非線性阻尼]]（Nonlinear damping）
* [[反演控制]]
* [[滑動模式控制]]

== 非線性回授分析–Lure問題==
[[File:Lur'e Problem Block.jpg|thumb|400px|Lure問題的方塊圖]]

早期有一個由{{link-en|Anatoliy Isakovich Lure|Anatoliy Lure}}提出的非線性回授系統分析問題。

Lur問題描述的控制系統有一個線性非時變的前向路徑，其回授路徑有無記憶，可能時變的非線性成份。

其線性部份可以表示為四個矩陣(''A'',''B'',''C'',''D'')，非線性成份是Φ(''y'')，其中<math>\frac{\Phi(y)} y \in [a,b],\quad a<b \quad \forall y </math>（扇形非線性）

=== 絕對穩定性問題 ===
考慮：
# (''A'',''B'') 有可控制性，(''C'',''A'') 有可觀察性
# 存在二個實數''a'', ''b''，''a''&nbsp;<&nbsp;''b''，定義了Φ的扇形區域

Lure問題（也稱為絕對穩定性問題）是要推導只和傳遞矩陣''H''(''s'')和{''a'',''b''}有關的條件，可以使''x''&nbsp;=&nbsp;0是系統的全域均勻漸近穩定平衡點。

有二個有關絕對穩定性問題的著名猜想，都已證實不成立：

* [[阿依熱爾曼猜想]]
* [[卡爾曼猜想]]

以圖形上來看，上述猜想可以表示為在Φ(''y'') ''x'' ''y''或是''d''Φ/''dy'' ''x'' Φ/''y''圖上的幾何制<ref>{{Cite journal|last=Naderi|first=T.|last2=Materassi|first2=D.|last3=Innocenti|first3=G.|last4=Genesio|first4=R.|date=2019|title=Revisiting Kalman and Aizerman Conjectures via a Graphical Interpretation|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=64|issue=2|pages=670–682|doi=10.1109/TAC.2018.2849597|issn=0018-9286}}</ref>。這兩個猜想存在反例，在線性穩定扇形區域內存在非線性回授，使得穩定的平衡點和穩定的周期解同時存在（[[隱蔽振盪]]）。

有二個有關Lure問題的主要定理，提供絕對穩定的充份條件：

* [[圓判據]]（線性系統中[[奈奎斯特稳定判据]]的延伸）
* [[波波夫判據]]

== 在非線性控制中的理論成果 ==

=== 弗罗贝尼乌斯定理 ===
[[弗罗贝尼乌斯定理]]是微分幾何中深刻的成果，其相關的概念和其他數學領域有關。若應用在非線性控制，其型式如下：假設以下型式的系統

: <math> \dot x = \sum_{i=1}^k f_i(x) u_i(t) \, </math>

其中<math>x \in R^n</math>，<math>f_1, \dots, f_k</math>是屬於<math>\Delta</math>分佈的向量場，而<math>u_i(t)</math>是控制函數，<math>x</math>的積分曲線會限制在<math>m</math>維流形，若<math>\operatorname{span}(\Delta) = m</math>，且<math>\Delta</math>是[[對合]]分佈。

== 相關條目 ==
* {{le|反馈钝化|Feedback passivation}}
* [[锁相环]]
* [[小控制信號特性]]

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

== 延伸閱讀 ==
{{refbegin}}
*{{cite journal |first=A. I. |last=Lur'e |first2=V. N. |last2=Postnikov |title=К теории устойчивости регулируемых систем |trans-title=On the Theory of Stability of Control Systems |journal=Prikladnaya Matematika I Mekhanika |volume=8 |issue=3 |year=1944 |pages=246–248 |language=ru }}
*{{cite book |first=M. |last=Vidyasagar |title=Nonlinear Systems Analysis |url=https://archive.org/details/nonlinearsystems0000vidy |edition=2nd |publisher=Prentice Hall |location=Englewood Cliffs |year=1993 |isbn=978-0-13-623463-0 }}
*{{cite book |first=A. |last=Isidori |title=Nonlinear Control Systems |edition=3rd |publisher=Springer |location=Berlin |year=1995 |isbn=978-3-540-19916-8 }}
*{{cite book |first=H. K. |last=Khalil |title=Nonlinear Systems |edition=3rd |publisher=Prentice Hall |location=Upper Saddle River |year=2002 |isbn=978-0-13-067389-3 }}
*{{cite book |first=B. |last=Brogliato |first2=R. |last2=Lozano |first3=B. |last3=Maschke |first4=O. |last4=Egeland |title=Dissipative Systems Analysis and Control |publisher=Springer |location=London |edition=2nd |year=2007 }}
*{{cite journal
 | author1 = Leonov G.A.
 | author2 = Kuznetsov N.V.
 | year = 2011
 | title = Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems
 | journal = Doklady Mathematics
 | volume = 84
 | pages = 475–481
 | url = http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-DAN-Absolute-stability-Aizerman-problem-Kalman-conjecture.pdf
 | doi = 10.1134/S1064562411040120
 | issue = 1
 | access-date = 2019-04-03
 | archive-date = 2016-03-04
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160304053548/http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-DAN-Absolute-stability-Aizerman-problem-Kalman-conjecture.pdf
 | dead-url = no
 }}
*{{cite journal
 | author1 = Bragin V.O.
 | author2 = Vagaitsev V.I.
 | author3 = Kuznetsov N.V.
 | author4 = Leonov G.A.
 | year = 2011
 | title = Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits
 | journal = Journal of Computer and Systems Sciences International
 | volume = 50
 | pages = 511–543
 | url = http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-TiSU-Hidden-oscillations-attractors-Aizerman-Kalman-conjectures.pdf
 | doi = 10.1134/S106423071104006X
 | issue = 5
 | access-date = 2019-04-03
 | archive-date = 2016-03-04
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160304045017/http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-TiSU-Hidden-oscillations-attractors-Aizerman-Kalman-conjectures.pdf
 | dead-url = no
 }}
*{{cite journal
 | author = Leonov G.A., Kuznetsov N.V.
 | year = 2011
 | title = Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems
 | journal = IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline)
 | volume = 18
 | pages = 2494–2505
 | url = http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-IFAC-Hidden-oscillations-control-systems-Aizerman-problem-Kalman.pdf
 | doi = 10.3182/20110828-6-IT-1002.03315
 | issue = 1
 | series = Proceedings of the 18th IFAC World Congress
 | editor1-last = Sergio
 | editor1-first = Bittanti
 | isbn = 9783902661937
 | access-date = 2019-04-03
 | archive-date = 2020-07-09
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200709161140/https://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-IFAC-Hidden-oscillations-control-systems-Aizerman-problem-Kalman.pdf
 | dead-url = no
 }}
{{refend}}

== 外部連結 ==
* [http://reference.wolfram.com/language/guide/NonlinearControlSystems.html Wolfram language functions for nonlinear control systems] {{Wayback|url=http://reference.wolfram.com/language/guide/NonlinearControlSystems.html |date=20210227182633 }}
{{控制理論}}
{{DEFAULTSORT:Nonlinear Control}}
[[Category:非線性控制| ]]