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在[[古典力學]]裏，假如，一個系統有任何[[約束 (經典力學)|約束]]是'''非完整約束'''，則稱此系統為'''非完整系統'''。非完整約束不是[[完整系統|完整約束]]。完整約束可以用方程式表示為
:<math> f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0</math>；
這裏，<math>f</math>是每一個粒子<math>P_i</math>之位置<math>x_i</math>和時間<math>t</math>的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

==廣義坐標的轉換==
完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數<math>x_d</math>是完整約束函數<math>f_k</math>裏的一個參數，現在指定除去<math>x_d</math>。重新編排上述約束方程式，求出表示<math>x_d</math>的函數<math>g_k</math>：
:<math>x_d=g_k(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots,\ x_N,\ t)</math>。

將函數<math>g_k</math>代入所有提到<math>x_d</math>的方程式。這樣，可以除去所有指定變數<math>x_d</math>。

假設一個物理系統原本的[[自由度 (物理學)|自由度]]是<math>N</math>。現在，將<math>h</math>個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為<math>m=N - h</math>。可以用<math>m</math>個獨立廣義座標<math>(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m)</math>來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：
:<math>x_i=x_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N</math>。

換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。

==微分形式表示==
約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第<math>i</math>個約束的微分形式的約束方程式：
:<math>\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0</math>；
這裏，<math>c_{ij}</math>，<math>c_{i}</math>分別為微分<math>dq_j</math>與<math>dt</math>的係數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是說，有一個函數<math>f_i(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ t)=0</math>的全微分滿足下述等式：
:<math>df_i=\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0</math>；

那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

==半完整系統==
表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示：
: <math>f_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N)=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n</math>；
則稱此系統為'''半完整系統'''<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 46-47}}</ref>；這裏，<math>\dot{q}_j</math>是[[廣義速度]]。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到[[拉格朗日乘數|拉格朗日乘子]]<math>\lambda_i</math> 
:<math>\sum_{i=1}^n\ \lambda_i f_i=0</math>；
這裏，<math>\lambda_i=\lambda_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N,\ t)</math>是未知函數。

假設[[哈密頓原理]]成立，則下述方程式成立：
:<math>\delta\int_{t_1}^{t_2}\ L\ dt=0</math>；
這裏，<math>L</math>是[[拉格朗日量]]，<math>t_1</math>  與<math>t_2</math>分別為積分的時間下限與上限。經過[[變分法]]運算，可以得到方程式
:<math>\int_{t_1}^{t_2}\  \sum_j\ \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)\right)\delta q_j \ dt=0</math>。

由於這<math>N</math>個廣義座標中，仍舊有<math>n</math>個不獨立廣義座標，不能將[[拉格朗日方程式]]提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目：
:<math>\delta\int_{t_1}^{t_2}\ \left(L+\sum_{i=1}^n\ \lambda_i f_i\right)\ dt=0</math>。

經過變分法運算，可以得到方程式
:<math>\int_{t_1}^{t_2}\  \sum_j\ \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) + \mathcal{F}_j\right)\delta q_j \ dt=0</math> ;
這裏，<math>\mathcal{F}_j</math>是[[廣義力]]的<math>j</math>分量：
:<math>\mathcal{F}_j=\sum_i\ \left[\frac{\partial(\lambda_i f_i)}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial (\lambda_i f_i)}{\partial \dot{q}_j}\right)\right]</math>。

雖然還有<math>n</math>個不獨立廣義座標，仍舊可以調整<math>n</math>加入的拉格朗日乘子，使總和公式內的每一個[[虛位移]]<math>\delta q_j</math>的係數都等於0。因此，
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j}=\mathcal{F}_j</math>。

這<math>N</math>個方程式加上<math>n</math>個約束方程式，給予了<math>N+n</math>個方程式來解<math>N</math>個未知廣義座標與<math>n</math>個拉格朗日乘子。

==實例==
非完整系統至少存在於以下三個狀況：
#物體在做[[滾動]]運動。
#系統的約束包括[[不等式]]。
#系統的約束與速度有關（例如[[普法夫約束]]）。

==參閱==
*[[拉格朗日力學]]
*[[哈密頓力學]]
*[[完整系統]]
*[[定常系統]]
*[[單演系統]]
*[[保守系統]]
*[[平行停車問題]]
*[[落貓問題]]
*[[自行車及摩托車的動力學]]

==參考文獻==
{{reflist}}
*{{cite web |url=http://www.stardrive.org/Jack/Note2.pdf |title=Non Holonomic Constraints in Newtonian Mechanics |author=Jack Sarfatti |date=2000-03-26 |format=PDF |work=Pedagogical Review from the Classics of Physics |language=en |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20071020104540/http://stardrive.org/Jack/Note2.pdf |archivedate=2007-10-20 }}

[[Category:力學|F]]
[[Category:經典力學|F]]
[[Category:拉格朗日力學|F]]
[[Category:哈密頓力學|F]]
[[Category:物理学系统]]