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'''非均勻取樣'''（{{lang-en|Nonuniform sampling}}）是取樣定理下的產物，藉由[[拉格朗日插值法]]及均勻取樣理論的關係，來達成滿足[[取樣定理]]的概括化型態。取樣定理限制了在對連續訊號取樣時的條件，如[[取樣定理|奈奎斯特準則]]，以避免取樣後的重構時產生訊號缺陷。而非均勻取樣則是在不同時間有不同的取樣間隔，但平均下來，整段取樣滿足取樣定理的限制，根據取樣定理的回推，這樣的作法在有限頻寬訊號重構時不會造成缺陷。因此，雖然均勻取樣在訊號重構時較簡單，完整的重構訊號卻不見得一定要用均勻取樣來的訊號才能達到。

1967年藍道<ref>{{Cite journal|title=Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions|url=http://dx.doi.org/10.1007/bf02395039|last=Landau|first=H. J.|date=1967|journal=Acta Mathematica|issue=0|doi=10.1007/bf02395039|volume=117|pages=37–52|issn=0001-5962}}</ref>提出的對於非均勻取樣及非基頻取樣的泛用理論提到，平均後的取樣率，無論是否均勻取樣，若是知道使用的[[頻譜]]為前題下，必須要是訊號占用[[頻寬]]的兩倍大。1990年代末期，這個理論推廣到占用頻寬的數量已知，而實際上頻譜位置未知的情形<ref>{{Cite journal|title=Spectrum-blind minimum-rate sampling and reconstruction of 2-D multiband signals|url=http://dx.doi.org/10.1109/icip.1996.559595|last=Bresler|first=Y.|last2=Ping Feng|journal=Proceedings of 3rd IEEE International Conference on Image Processing|publisher=IEEE|doi=10.1109/icip.1996.559595|isbn=0780332598}}</ref>。2000年代，非均勻取樣與[[壓縮感知|壓縮取樣]]逐漸發展成一套完整的理論，並實際實作在訊號處理上<ref>{{Cite journal|title=Blind Multiband Signal Reconstruction: Compressed Sensing for Analog Signals|url=http://dx.doi.org/10.1109/tsp.2009.2012791|last=Mishali|first=M.|last2=Eldar|first2=Y.C.|date=2009-03|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|issue=3|doi=10.1109/tsp.2009.2012791|volume=57|pages=993–1009|issn=1053-587X}}</ref>。如果頻譜位置是未知的，取樣率必須至少兩倍大於奈奎斯特準則，也就是說未知頻譜位置的代價是至少多兩倍的頻寬。

== 取樣混疊 ==
{{main|取樣定理}}
奈奎斯特準則用取樣率限制了最大取樣頻率，若是超出這個頻率就會產生混疊。高於取樣頻率的成分將被重構成低於取樣頻率的訊號，因而導致重構失真，這樣的失真就稱為混疊，因為這兩個訊號有同樣的取樣值，重構時並不能主動判斷是哪一個成分訊號造成的。同樣的狀況也出現在數值分析裡的頻譜法。一般有兩個方式可以避免混疊的發生，一是提高取樣頻率，使之達到最凹訊號頻率的兩倍以上，意即使之符合奈奎斯特準則。二是引入低通濾波器，通常稱為抗混疊濾波器，用以濾除高於最大頻率之訊號。
[[File:Nonuniform Sampling1.png|居中|缩略图|均勻取樣會造成訊號混疊]]
然而，若是將每個取樣的時間點前後挪移一點單位，在重構訊號時，由於只有被取樣頻率的正弦波可以經過取樣點，原本會被誤重構二個頻率均不會經過取樣點。暫且不論重構訊號的方式，此法的確可以避免混疊，是為非均勻取樣。研究亦有指出，在正確進行非均勻取樣的前提下，每一個頻率都有對應的取樣數值組合，在上述的例子中也顯示其抗混疊的效用，意即成功重構是可能的。
[[File:Nonuniform Sampling2.png|居中|缩略图|調整取樣時間點，便可有效避免訊號混疊]]
最常使用的非均勻採樣抗混疊訊號處理法的實作，是引入一串高精度且已知的時間長度，作為取樣的間隔。雖然非均勻取樣可以解決混疊問題，然實際使用上，包含取樣率的上限計算等，與一般均勻取樣不全然相同。平均取樣率是藉由總取樣點除以總取樣時間得到，最小取樣數則在均勻與否的取樣皆相同，均勻取樣則常常有超過數量的取樣點，目的同樣是為了防止混疊。

== 理論 ==

=== 拉格朗日插值法 ===
當有n+1個時間點對應的值是知道的時候，可以建立一個n次多項式來重構此函數。假設這n+1個點為<math>z_0, z_1, \ldots , z_n</math>，且其對應的值為<math>w_0, w_1, \ldots, w_n</math>

以上對應存在一個為一的多項式使得：

<math>p_n(z_i) = w_i, \text{ where }i = 0, 1, \ldots, n.</math>

而這個多項式可以用以下插值多項式加以簡化

<math>I_k(z) = \frac{(z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots(z-z_n)}{(z_k-z_0)(z_k-z_1)\cdots(z_k-z_{k-1})(z_k-z_{k+1})\cdots(z_k-z_n)}</math>

以上式子可表示如下

<math>
I_k(z_j) = \delta_{k,j} = 
\begin{cases}
 0, & \text{if }k\ne j \\
 1, & \text{if }k = j
\end{cases}
</math>

便可以將前述多項式寫成

<math>p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_kI_k(z)</math>

<math>p_n(z_j) = w_j, j = 0, 1, \ldots, n</math>

為了使式子形式更簡潔明瞭，引入以下函數

<math>G_n(z) = (z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_n)</math>

以下便為拉格朗日插值多項式：

<math>p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_k\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}</math>

令<math>f(z_j)=p_n(z_j), j=0, 1, \ldots, n,</math>則此多項是又可以寫作

<math>f(z) = \sum_{k=0}^n f(z_k)\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}</math>

=== 惠特克–夏農–科特爾尼科夫定理(Whittaker–Shannon–Kotelnikov) (WSK) ===
惠特克將以上插值多項式的定義拓展到[[整函數]]上，他給出了以下插值形式

<math>C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(a+nW)\frac{\sin[\pi(z-a-nW/W)]}{[\pi(z-a-nW/W)]}</math>

當點在<math>z_n = a + nW</math>時，其函數值與前述<math>f(z)</math>相同。

延續前一節的簡化，以上整函數形式的插值函數<math>C_f(z)</math>亦可以簡化為

<math>C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(z_n)\frac{G(z)}{G'(z_n)(z-z_n)},\text{ where }G(z)=\sin[\pi(z-z_n)/W]\text{ and }z_n=a+nW</math>

當 a=0且W=1時，以上函數與現時定義之WSK理論近幾一致：<blockquote>若一個函數可以以下形式表達

<math>f(t) = \int_{-\sigma}^\sigma e^{jxt}g(x)\, dx \qquad (t\in \mathbb{R}), \qquad \forall g\in L^2(-\sigma,\sigma),</math>

則此函數可以藉由以下方式重構

<math>f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f\left(\frac{k\pi}{\sigma}\right)\frac{\sin(\sigma t-k\pi)}{\sigma t-k\pi} \qquad (t\in \mathbb{R})</math></blockquote><br />

=== 非均勻採樣 ===
若存在一序列<math>\{t_k\}_{k\in \mathbb{Z}}</math>滿足以下條件

<math>D=\sup_{k\in\mathbb{Z}}|t_k-k|<\frac{1}{4},</math>

則

: <math>f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f(t_k)\frac{G(t)}{G'(t_k)(t-t_k)},\qquad \forall f\in B^2_\pi,\qquad (t\in \mathbb{R}),</math>

: <math>\text{ where }G(t)=(t-t_0)\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{t}{t_k}\right)\left(1-\frac{t}{t_{-k}}\right),</math> <math>B^2_\sigma.</math>是Bernstein space，<math>f(t) </math>均勻[[收斂]]於[[緊空間|緊緻]]集。

以上稱為'''培力-威納-萊文森定理'''，為將WSK定理從均勻取樣時間拓展至非均勻取樣時間的定裡。<ref name="WorldCat.org 1999">{{cite web | title=Nonuniform sampling : theory and practice. 1 (Book, 2013) &#91;WorldCat.org&#93; | website=WorldCat.org | date=1999-02-22 | url=http://worldcat.org/oclc/915531336 | access-date=2019-07-19}}</ref>

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:数字信号处理]]