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[[数学]]中，'''非交换调和分析'''将[[傅里叶分析]]的结果推广到非交换[[拓扑群]]。<ref>{{cite journal|author=Gross, Kenneth I.|title=On the evolution of noncommutative harmonic analysis|journal=Amer. Math. Monthly|volume=85|year=1978|issue=7|pages=525–548|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/on-the-evolution-of-noncommutative-harmonic-analysis|doi=10.2307/2320861|jstor=2320861|access-date=2024-04-06|archive-date=2024-02-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20240212195045/https://maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/on-the-evolution-of-noncommutative-harmonic-analysis|dead-url=no}}</ref>由于[[局部紧阿贝尔群]]有很好理解的理论——[[庞特里亚金对偶性]]，其中包括[[傅里叶级数]]和[[傅里叶变换]]的基本结构，因此非交换[[调和分析]]的主要任务一般认为是将其推广到所有[[局部紧]]群''G''。1920年代提出[[彼得-魏尔定理]]后，[[紧群]]情形被定性地理解为与[[有限群]]及其[[特征标理论]]大致相似。

因此，有局部紧、非紧、非交换的群''G''的情形。有趣的例子如很多[[李群]]和[[P进数]]域上的[[代数群]]。这些例子在[[数学物理]]和当代[[数论]]（尤其是[[自守形式|自守表示]]）中有广泛应用。

[[约翰·冯·诺伊曼]]的基础成果是众所周知的，他指出，若''G''的[[冯诺依曼代数|冯诺依曼群代数]]属于I型，则作为''G''的[[幺正表示]]的<math>L^2(G)</math>是不可还原表示的[[直积分]]。因此，其参数是幺正对偶，即此种表示的同构类集合，被赋予了[[C*-代数#谱|壳-核拓扑（hull-kernel topology）]]。[[普朗歇尔定理]]的类似定理抽象地给出了幺正对偶上的一个测度，即'''普朗歇尔测度'''，与之相关的是直积分（对于[[庞特里亚金对偶性]]而言，普朗歇尔测度是''G''的对偶群商的某个哈尔测度，因此唯一的问题是其归一化（normalization））。对于一般的局部紧群，甚至可数离散群，冯诺依曼群代数不一定是I型的，''G''的正则表达（regular representation）不能写成不可还原表示，即便它是幺正、完全可约的。这种情况的例子是无限对称群，当中冯诺依曼群代数是超无限型II<sub>1</sub>因子。进一步的理论将普朗歇尔测度分为离散和连续两部分。对于[[约化群|半单群]]与[[可解李代数|可解李群]]，有非常详尽的理论。<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=8y11t3mhLO8C&q=noncommutative+harmonic+analysis|title=Noncommutative Harmonic Analysis|author=Taylor, Michael E.|date=August 1986|isbn=9780821873823|authorlink=Michael E. Taylor|access-date=2024-04-06|archive-date=2024-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20240406130803/https://books.google.com/books?id=8y11t3mhLO8C&q=noncommutative+harmonic+analysis|dead-url=no}}</ref>

==另见==
* [[塞尔伯格迹公式]]
* [[朗兰兹纲领]]
* [[轨迹法]]
* [[离散级数表示]]
* [[带状球面函数]]

==参考文献==
*"Noncommutative harmonic analysis: in honor of Jacques Carmona", Jacques Carmona, Patrick Delorme, Michèle Vergne; Publisher Springer, 2004 {{isbn|0-8176-3207-7}} <ref>{{Cite web |url=https://books.google.com/books?id=eHEaw1jKu8UC&q=noncommutative+harmonic+analysis |title=''Noncommutaive Harmonic Analysis: In Honor of Jacques Carmona'' |access-date=2024-04-06 |archive-date=2024-04-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240406130639/https://books.google.com/books?id=eHEaw1jKu8UC&q=noncommutative+harmonic+analysis |dead-url=no }}</ref>
* Yurii I. Lyubich. ''Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups''. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.

==注释==
{{reflist}}

[[Category:拓扑群]]
[[Category:调和分析|*]]
[[Category:对偶理论]]