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在[[数学]]的分支[[概率论]]和[[算子代数]]中，'''非交换概率空间'''是对经典[[概率空间]]、尤其是经典概率论的随机变量代数表述的推广。一般的非交换概率空间也称'''代数非交换概率空间'''<ref>{{Cite book|series=Münster Lectures in Mathematics|publisher=European Mathematical Society|date=2016|location=Zürich, Switzerland|isbn=978-3-03719-165-1|editor-first=Dan|editor-last=Voiculescu|title=Free probability and operator algebras}}</ref>，其定义为一个[[有单位的|有单位元]]的[[域上的代数|代数]] <math>\mathcal A</math> ，其上配备有一个[[保单位元]]的线性泛函 <math>\phi</math> 。 <math>\mathcal A</math> 中元素可视为是非交换版本的[[随机变量]]，而 <math>\phi</math> 则计算各随机变量的[[期望值|期望]]。出于各种实际目的，代数非交换概率空间定义中的要求往往需要加强，从而引出{{Section link|2=非交换*-概率空间|nopage=y}}等概念。

非交换概率空间是非交换概率论的基本数学结构，非交换概率论可应用在[[谱理论]]、[[随机矩阵]]和[[量子力学]]中。<ref>{{Cite web|title=254A, Notes 5: Free probability|url=https://terrytao.wordpress.com/2010/02/10/245a-notes-5-free-probability/|website=What's new|date=2010-02-11|language=en|access-date=2024-04-21|archive-date=2023-12-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20231217024303/https://terrytao.wordpress.com/2010/02/10/245a-notes-5-free-probability/|dead-url=no}}</ref>

== 动机 ==
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=== 随机变量代数与期望 ===
{{See also|概率空间}}
测度论表述中的概率论是基于所谓概率空间 <math>(\Omega,\Sigma,\mathbb P)</math> ，即一个总测度为一的（正）[[测度空间]]。所谓随机变量即是其上的实值[[可测函数]]，而随机变量的期望则是其[[勒貝格積分]]。

现在考虑全体[[本质上确界和本质下确界|本质有界]]的随机变量，它们构成了一个 <math>\R</math> 上的[[域上的代数|代数]]，这里简单记作 <math>L^\infty</math> 。在这个代数上，期望映射 <math>\mathbb E:L^\infty\to\R</math> 是唯一能满足 <math>\forall X\in\Sigma,\ \mathbb E(1_X)=\mathbb P(X)</math> 且给出[[单调收敛定理|单调收敛]]性质的线性映射，其中 <math>1_X</math> 表示 <math>X</math> 的[[指示函数]]。反过来，若具有单调收敛性质的非负线性映射 <math>\mathbb E:L^\infty\to\R</math> 满足 <math>\mathbb E(\mathbf 1)=1</math> （其中 <math>\mathbf 1</math> 是值为一的常函数，即 <math>L^\infty</math> 上的乘法[[單位元|单位元]]），则可用 <math>\forall X\in\Sigma,\ \mathbb E(1_X)=\mathbb P(X)</math> 一式唯一地定义一个[[概率测度]]。在这个意义上，随机变量代数的期望映射和概率空间的概率测度是一一对应的。借助{{Le|单调类定理|Monotone class theorem}}，还可建立在单调收敛下封闭的 <math>\Omega</math> 上的有界函数代数与 <math>L^\infty</math> 的一一对应。<ref>{{Cite web|title=Algebraic Probability|url=https://almostsuremath.com/2019/11/10/algebraic-probability/|website=Almost Sure|date=2019-11-10|language=en|last=Lowther|first=George|access-date=2024-04-21|archive-date=2024-04-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20240421161115/https://almostsuremath.com/2019/11/10/algebraic-probability/|dead-url=no}}</ref>

对事件空间地位的降低，以及对代数性质的强调，使得概率论可以有较明显的推广方案，来兼容非交换的随机变量。

=== 量子概率与*-代数 ===
{{See also|可觀察量|*-代数}}

=== 分析性质 ===
{{See also|C*-代数|冯诺依曼代数}}

== 定义 ==

=== 非交换概率空间 ===
<math>(\mathcal A,\phi)</math> 是一'''代数非交换概率空间'''，若 <math>\mathcal A</math> 是 <math>\C</math> 上的一个有单位元 <math>1_\mathcal A</math> 的代数， <math>\phi:\mathcal A\to\C</math> 是 <math>\mathcal A</math> 上一个满足 <math>\phi(1_\mathcal A)=1</math> 的线性泛函。一些作者也考虑代数无单位元的情况<ref>{{Cite web|title=States on *-Algebras|url=https://almostsuremath.com/2019/12/08/states-on-algebras/|website=Almost Sure|date=2019-12-08|language=en|last=Lowther|first=George|access-date=2024-04-20|archive-date=2024-04-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20240420131743/https://almostsuremath.com/2019/12/08/states-on-algebras/|dead-url=no}}</ref>。

=== 非交换*-概率空间 ===
<math>(\mathcal A,\phi)</math> 是一'''非交换*-概率空间'''，若 <math>(\mathcal A,\phi)</math> 是一个代数非交换概率空间，且满足：

* <math>\mathcal A</math> 是一个[[*-代数]]；
* <math>\phi</math> 是一个正映射，也就是说 <math>\mathcal A</math> 中的[[正元]]总是被映为非负实数，或者等价地说<math display="block">\forall a\in\mathcal A,\quad \phi(a^*a)\geq0.</math>这个条件结合 <math>\phi(1_\mathcal A)=1</math> 意味着 <math>\phi</math> 是一个{{Le|态 (泛函分析)|State (functional Analysis)|态}}。

=== 非交换C*-概率空间 ===
<math>(\mathcal A,\phi)</math> 是一'''非交换C*-概率空间'''，若 <math>(\mathcal A,\phi)</math> 是一个非交换*-概率空间，且满足：

* <math>\mathcal A</math> 是一个[[C*-代数]]；
* 态 <math>\phi</math> 是非退化的，也就是说 <math>\|a\|_\infty=0\implies a=0.</math>


上面的 <math>\|\cdot\|_\infty</math> 是一个 <math>\phi</math> 诱导的半范数，定义为<math display="block">\forall a\in\mathcal A,\quad\|a\|_\infty=\sup\{\|ax\|_2|x\in\mathcal A\land\|x\|_2\leq1\},</math> 形式上它类似于左乘映射 <math>x\mapsto ax</math> 的[[算子范数]]。一些作者不要求 <math>\phi</math> 为非退化的，因为总是可[[商代数|商]]去满足 <math>\|a\|_\infty=0</math> 的元素所构成的[[*-理想]]使其成为非退化的<ref>{{Cite web|title=Noncommutative Probability Spaces|url=https://almostsuremath.com/2020/02/05/noncommutative-probability-spaces/|website=Almost Sure|date=2020-02-05|language=en|last=Lowther|first=George|access-date=2024-04-20}}</ref>。

=== 非交换W*-概率空间 ===
<math>(\mathcal A,\phi)</math> 是一'''非交换W*-概率空间'''，若 <math>(\mathcal A,\phi)</math> 是一个非交换C*-概率空间，且满足：

* <math>\mathcal A</math> 是一个[[冯诺依曼代数|W*-代数]]；
* 态 <math>\phi</math> 是[[正规映射 (算子代数)|正规]]的。或者等价地说， <math>\phi</math> 是[[超弱拓扑|超弱]][[連續函數 (拓撲學)|连续]]的。

值得一提的是，即便在非交换概率空间的定义中解除对有单位元的要求，如此定义的非交换W*-概率空间也必然有单位元。

== 参考文献 ==

=== 文内引注 ===
{{Reflist}}

[[Category:概率论]]
[[Category:C*-代数]]
[[Category:算子代数]]
[[Category:量子力学]]