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[[数学]]中，'''非交换拓扑'''是用于[[拓扑学]]与[[C*-代数]]概念之间关系的术语。非交换拓扑起源于[[盖尔范德–奈马克定理]]，指出[[局部紧]][[豪斯多夫空间]]的[[范畴 (数学)|范畴]]同[[交换律|交换]]C*-代数范畴之间的[[范畴的等价|对偶性]]。非交换拓扑与解析[[非交换几何]]有关。

== 例子 ==
非交换拓扑背后是前提是，非交换C*-代数可以像非交换空间上的复值连续函数代数一样处理，而非交换空间在经典上是不存在的。有几个拓扑性质可表为C*-代数的性质，而无需提及交换性或底空间，因此可以立即推广。其中包括
* [[紧空间|紧性]]（[[域上的代数|含幺]]）
* [[σ-紧空间|σ-紧性]]（[[近似单位|含σ-幺]]）
* [[拓扑维数|维度]]（实或稳秩）
* [[连通空间|连通性]]（[[无射影C*-代数|无射影]]）
* [[极端不连通空间]]（[[AW*-代数]]）

交换C*-代数的各个元素同连续函数相对应。因此，某些函数类可对应C*-代数的性质，例如交换C*-代数的[[自伴算子|自伴]]元素对应实值连续函数。另外，[[投影_(线性代数)#正交投影|投影]]（即自伴[[幂等]]元）对应[[闭开集]]的[[指示函数]]。
范畴构造引出一些例子。如，空间的[[余积]]是[[无交并 (拓扑)|无交并]] ，于是对应于代数的直和，其是C*-代数的[[积 (范畴论)|积]]。同样，[[积拓扑]]对应C*-代数的余积，即代数的张量积。在更特殊的情形下，拓扑的紧化对应代数的单位化，于是[[亚历山德罗夫扩张|单点紧化]]对应C*-代数的最小单位化，[[斯通-切赫紧化]]对应[[乘数代数]]，[[冠集]]对应[[冠代数]]。

在某些性质的例子中，可能存在多种推广，但并不清楚哪种更可取。例如，[[概率测度]]可对应[[状态 (泛函分析)|状态]]或迹态。由于交换情形下，所有状态都是空迹态（vacuously 
tracial state），因此迹条件是否是有用推广的必要条件，并不清楚。

== K理论 ==
这一思想的一个主要例子是[[拓扑K-理论]]以[[算子K-理论]]的形式推广到非交换C*-代数。

其进一步发展是K理论的[[函子#雙函子與多函子|双变量]]版本，称作[[KK-理论]]，有组合积

<math>KK(A,B)\times KK(B,C)\rightarrow KK(A,C)</math>

其中普通K理论的[[环 (数学)|环]]结构是特例。积赋予KK以[[贝尔空间|范畴]]的结构，与[[代数簇]]的[[对应 (代数几何)|对应]]有关。<ref>{{citation
 | last1 = Connes | first1 = Alain | author1-link = Alain Connes
 | last2 = Consani | first2 = Caterina | author2-link = Caterina Consani
 | last3 = Marcolli | first3 = Matilde | author3-link = Matilde Marcolli
 | arxiv = math.QA/0512138
 | doi = 10.1016/j.aim.2007.03.006 | doi-access=free
 | issue = 2
 | journal = [[Advances in Mathematics]]
 | mr = 2349719
 | pages = 761–831
 | title = Noncommutative geometry and motives: the thermodynamics of endomotives
 | volume = 214
 | year = 2007}}</ref>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{泛函分析}}

{{Topology-stub}}
[[Category:巴拿赫代数]]
[[Category:C*-代数]]
[[Category:拓扑学]]