查看“︁非交换代数几何”︁的源代码

{{环论}}
'''非交换代数几何'''是[[非交换几何]]的一个方向，研究[[非交换]][[代数]]对象（如[[环 (代数)|环]]）的形式对偶的几何性质，以及由它们导出的几何对象（如由沿局部胶合或取非交换[[商叠|叠商]]）的几何性质。

例如，非交换代数几何通过适当地粘合非交换环的谱，来推广[[概形]]，已经取得了部分成功。非交换环推广了交换[[概形]]上的交换[[仿射簇|正规函数环]]。在传统（交换）[[代数几何]]中，空间上的函数有由[[逐点乘积]]定义的积，函数的值[[交换律|交换]]时，函数也交换：<math>a\times b=b\times a</math>。值得注意的是，将非交换结合代数视作“非交换”空间上的函数代数是一种意义深远的几何直觉，尽管在形式上看像是谬误。

非交换代数几何的主要动机来自物理学，尤其是[[量子物理]]，当中[[可观察量]]代数被视作函数的非交换类似物，因此有动机观察其几何性质。非交换代数几何还为研究交换代数几何中的对象（如[[布饶尔群]]）提供了新技术。

非交换代数几何的方法与交换的类似，但基础往往不同。交换代数几何中的局部行为由[[局部环]]之类的[[交换代数]]对象来捕捉，在非交换环境中没有类似的环论；不过在范畴论情景中，我们可以讨论非交换谱上的[[准凝聚层]]的局部范畴[[叠 (数学)|叠]]。来自[[同调代数]]和[[K-理论]]的全局性质更常用于非交换情景。

== 历史 ==
=== 经典方法：非交换局部化问题 ===
交换代数几何始于构造[[环的谱]]。代数簇（更一般的[[概形]]）的点是环的素理想，代数簇上的函数是环的元素。但非交换环可能没有适当的非零双侧素理想，[[仿射空间]]上多项式微分算子的[[外尔代数]]就如此：外尔代数是[[单环]]。因此，可尝试用[[主理想|主谱]]代替素谱：还有非交换局部化和[[下降 (数学)|下降理论]]。这在某种程度上是可行的：例如，[[雅克·迪克斯米耶]]的包络代数可看作是为[[李代数]]的包络代数的主谱研究非交换代数几何。[[迈克尔·阿廷]]的“非交换环”笔记具有相似精神，<ref>M. Artin, [http://www-math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf noncommutative rings] {{Wayback|url=http://www-math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf |date=20210413235113 }}</ref>部分内容尝试从非交换几何的角度研究[[表示论]]。这两种方法的关键在于，[[不可约表示]]，或至少是[[主理想]]，可视作“非交换点”。

=== 使用层范畴的现代观点 ===
事实证明，（举例来说）要从主谱开始发展出一套可行的[[层 (数学)|层]]理论并不容易。可以想象，这种困难由一种量子现象造成：空间中的点可以影响远处的点（事实上，单独处理点、将空间视作点集并不合适）。

于是，人们接受了Pierre Gabriel论文中预设的隐含范式，Gabriel–Rosenberg重构定理也部分证明了：在概形同构的意义下，交换概形可完全从概形上的[[准凝聚层]]的[[阿贝尔范畴]]重构出来。[[亚历山大·格罗滕迪克]]指出，做几何不需要空间，只要有空间上的层范畴就够了。这思想由[[尤里·马宁]]引入了非交换代数。（准）凝聚层的导出范畴中，有些稍弱的重构定理，是'''导出非交换代数几何'''（下详）的动机。

=== 导出代数几何 ===
{{main|导出代数几何}}
最新的方法是通过[[形变理论]]，将非交换代数置于[[导出代数几何]]的领域中。

作为一个激励性例子，考虑[[复数 (数学)|复数]]<math>\mathbb{C}</math>上的1维[[外尔代数]]，它是自由环<math>\mathbb{C}\langle x,\ y\rangle</math>对关系式
:<math>xy-yx=1</math>
的商。此环表示单变量''x''的多项式微分算子；''y''表示微分算子<math>\partial_x</math>。这个环符合<math>xy-yx=\alpha</math>关系给出的单参数族。α若非零，则关系决定了与外尔代数同构的环；α为零时，关系就是''x''与''y''的交换关系，由此得到的商环就是两变量多项式环<math>\mathbb{C}[x,\ y]</math>。从几何学角度看，两变量多项式环表示2维[[仿射空间]]<math>\mathbb{A}^2</math>，因此单参数族的存在说明，仿射空间允许对外尔代数确定的空间进行非交换形变。这种形变与微分算子符号及<math>\mathbb{A}^2</math>是仿射线的[[余切丛]]有关（研究外尔代数可获得仿射空间信息：外尔代数的[[迪克斯米耶猜想]]等同于仿射平面的[[雅可比猜想]]）。

这一思路中，[[算畴]]（运算集合或空间）概念变得尤为重要。{{harv|Francis|2008}}导言写道：
{{rquote|width=90%|2=我们开始研究一些不太交换的代数几何。… [[En环|<math>\mathcal{E}_n</math>环]]上的代数几何可看作是非交换与交换代数几何一些导出理论之间的插值。随着''n''增加，这些<math>\mathcal{E}_n</math>-代数收敛到Toën-Vezzosi和[[雅各·卢里|卢里]]的[[导出代数几何]]。}}

== 非交换环的射影 ==
{{main|非交换射影几何}}
交换代数几何的基本构造之一是分次交换环的[[射影构造]]，建立了[[射影簇]]和十分[[丰沛线丛]]，其[[齐次坐标环]]是原环。构造簇的底拓扑空间需要将环局部化，但构造空间上的层则不需要。根据[[让-皮埃尔·塞尔]]的定理，分次环射影上的准凝聚层等同于环上的分次模，都是有限维因子。[[亚历山大·格罗滕迪克]]提出的[[意象论]]认为，空间上的层范畴可作为空间本身。因此，在非交换代数几何中，常以下面的方式定义射影：令''R''为分次'''C'''代数，Mod-''R''表示分次右''R''模范畴。令''F''表示Mod-''R''包含所有有限长模的子范畴。这样，Proj ''R''的定义是阿贝尔范畴Mod-''R''对''F''的商。等价地，它是Mod-''R''的局部化，其中若两模与适当选择的''F''对象直接相加后，在Mod-''R''中同构，则两模同构。

这种方法引出了[[非交换射影几何]]。非交换光滑射影曲线就是光滑交换曲线，但对于奇异曲线或光滑高维空间，非交换情景允许有新的对象。

== 另见 ==
*[[导出非交换代数几何]]
*[[Q范畴]]
*[[准自由代数]]

==脚注==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[Michael Artin|M. Artin]], J. J. Zhang, Noncommutative projective schemes, [[Advances in Mathematics]] 109 (1994), no. 2, 228–287, [https://dx.doi.org/10.1006/aima.1994.1087 doi].
* Yuri I. Manin, Quantum groups and non-commutative geometry, CRM, Montreal 1988.
* Yuri I Manin, Topics in noncommutative geometry, 176 pp. Princeton 1991.
* A. Bondal, M. van den Bergh, Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry, Moscow Mathematical Journal 3 (2003), no. 1, 1–36.
* A. Bondal, D. Orlov, Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences, [[Compositio Mathematica]] 125 (2001), 327–344 [https://dx.doi.org/10.1023/A:1002470302976 doi]
* John Francis, [http://www.math.northwestern.edu/~jnkf/writ/thezrev.pdf Derived Algebraic Geometry Over <math>\mathcal{E}_n</math>-Rings] {{Wayback|url=http://www.math.northwestern.edu/~jnkf/writ/thezrev.pdf |date=20230608142347 }}
* O. A. Laudal, Noncommutative algebraic geometry, Rev. Mat. Iberoamericana 19, n. 2 (2003), 509--580; [http://projecteuclid.org/euclid.rmi/1063050166 euclid] {{Wayback|url=http://projecteuclid.org/euclid.rmi/1063050166 |date=20200715103608 }}.
* [[Fred Van Oystaeyen]], Alain Verschoren, Non-commutative algebraic geometry, Springer Lect. Notes in Math. 887, 1981.
* Fred van Oystaeyen, Algebraic geometry for associative algebras, Marcel Dekker 2000. vi+287 pp.
* A. L.  Rosenberg, Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras, MIA 330, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xii+315 pp. {{isbn|0-7923-3575-9}}
* M. Kontsevich, A. Rosenberg, Noncommutative smooth spaces,  The Gelfand Mathematical Seminars, 1996--1999,  85--108, Gelfand Math. Sem., Birkhäuser, Boston 2000; [https://arxiv.org/abs/math/9812158 arXiv:math/9812158] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/math/9812158 |date=20231225093110 }}
* A. L. Rosenberg, Noncommutative schemes, [[Compositio Mathematica]] 112 (1998) 93--125, [https://dx.doi.org/10.1023/A:1000479824211 doi]; Underlying spaces of noncommutative schemes, preprint MPIM2003-111, [http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?bid=1947 dvi] {{Wayback|url=http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?bid=1947 |date=20210904135432 }}, [http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?bid=1948 ps] {{Wayback|url=http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?bid=1948 |date=20210904135430 }}; [[Mathematical Sciences Research Institute|MSRI]] lecture ''Noncommutative schemes and spaces'' (Feb 2000): [http://www.msri.org/publications/ln/msri/2000/interact/rosenberg/1/index.html video] {{Wayback|url=http://www.msri.org/publications/ln/msri/2000/interact/rosenberg/1/index.html |date=20041217060734 }}
* Pierre Gabriel, Des catégories abéliennes, Bulletin de la Société Mathématique de France 90 (1962), p. 323-448, [http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1962__90__323_0 numdam] {{Wayback|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1962__90__323_0 |date=20160127053726 }}
* Zoran Škoda, Some equivariant constructions in noncommutative algebraic geometry, Georgian Mathematical Journal 16 (2009), No. 1, 183--202, [https://arxiv.org/abs/0811.4770 arXiv:0811.4770] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/0811.4770 |date=20231225093156 }}.
* Dmitri Orlov, Quasi-coherent sheaves in commutative and non-commutative geometry, Izv. RAN. Ser. Mat., 2003,  vol. 67, issue 3, 119–138 (MPI preprint version [http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?bid=57 dvi] {{Wayback|url=http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?bid=57 |date=20231225094615 }}, [http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?bid=56 ps] {{Wayback|url=http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?bid=56 |date=20240417225034 }})
* M. Kapranov, Noncommutative geometry based on commutator expansions, [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] 505 (1998), 73-118, [https://arxiv.org/abs/math/9802041 math.AG/9802041] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/math/9802041 |date=20231225093123 }}.

== 阅读更多 ==
* A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, [https://arxiv.org/abs/alg-geom/9506012 alg-geom/9506006] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/alg-geom/9506012 |date=20231115150819 }}
* Tomasz Maszczyk, Noncommutative geometry through monoidal categories, [https://arxiv.org/abs/math/0611806 math.QA/0611806] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/math/0611806 |date=20231225093116 }}
* S. Mahanta, On some approaches towards non-commutative algebraic geometry, [https://arxiv.org/abs/math/0501166 math.QA/0501166] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/math/0501166 |date=20231225223214 }}
* [[Ludmil Katzarkov]], [[Maxim Kontsevich]], Tony Pantev, Hodge theoretic aspects of mirror symmetry, [https://arxiv.org/abs/0806.0107 arxiv/0806.0107] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/0806.0107 |date=20231225223245 }}
* [[Dmitri Kaledin]], Tokyo lectures "Homological methods in non-commutative geometry", [http://imperium.lenin.ru/~kaledin/tokyo/final.pdf pdf] {{Wayback|url=http://imperium.lenin.ru/~kaledin/tokyo/final.pdf |date=20221207102947 }}, [http://imperium.lenin.ru/~kaledin/tokyo/final.tex TeX] {{Wayback|url=http://imperium.lenin.ru/~kaledin/tokyo/final.tex |date=20230127044016 }}; and (similar but different) [http://imperium.lenin.ru/~kaledin/seoul Seoul lectures] {{Wayback|url=http://imperium.lenin.ru/~kaledin/seoul |date=20231225093112 }}

== 外部链接 ==
* MathOverflow, [https://mathoverflow.net/q/10512 Theories of Noncommutative Geometry]
* {{nlab|id=noncommutative+algebraic+geometry|title=noncommutative algebraic geometry}}
* {{nlab|id=equivariant+noncommutative+algebraic+geometry|title=equivariant noncommutative algebraic geometry}}
* {{nlab|id=noncommutative+scheme|title=noncommutative scheme}}
* {{nlab|id=Kapranov%27s%20noncommutative%20geometry|title=Kapranov's noncommutative geometry}}

[[Category:代数几何]]
[[Category:非交换几何]]