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'''非互補歐拉商數'''（{{lang|en|'''noncototient'''}}）是指一個正整數''n''，不存在任一個[[整數]]''m''使下式成立：
: <math>
 m - \varphi(m) = n,
</math>

其中<math>\varphi(m)</math>表示[[歐拉函數]]（totient function），是小於m的正整數中和m互質整數的個數。<math>m-\varphi(m)</math>稱為m的互補歐拉商數（cototient）{{OEIS|id=A051953}}。例如小於6的正整數中，和6互質的只有一個數字5，因此6的歐拉函數為1，而互補歐拉商數為6-1=5。

而非互補歐拉商數就是指不在互補歐拉商數[[值域]]內的整數，若正整數''n''是非互補歐拉商數，表示所有整數''m''的互補歐拉商數都不等於''n''。

頭幾個非互補歐拉商數是：
:[[10]], [[26]], [[34]], [[50]], [[52]], [[58]], [[86]], [[100]], [[116]], [[122]], [[130]], [[134]], [[146]], [[154]], [[170]], [[172]], 186, 202, 206, 218, [[222]], 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 {{OEIS|id=A005278}}。

另外，{{mvar|n}}的互補歐拉商數是
:0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... {{OEIS|id=A051953}}

目前已知的非互補歐拉商數均為偶數，因此[[猜想]]所有的非互補歐拉商數均為偶數，猜想中有用到有經過修改的[[哥德巴赫猜想]]：若偶數''n''可以表示為二個相異質數''p''及''q''的和，則

: <math>
 pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1. \,
</math>

依照哥德巴赫猜想，所有大於6的偶數都可以表示為二個相異質數''p''及''q''的和，此偶數減1所得的奇數就是''pq''的互補歐拉商數，因此很可能所有大於5的奇數都是互補歐拉商數，而未考慮到的奇數有1,3,5，而<math>1=2-\phi(2), 3 = 9 - \phi(9)</math>, <math>5 = 25 - \phi(25)</math>，這些數也都是互補歐拉商數，因此很可能所有的非互補歐拉商數均為偶數。

Erdős和Sierpinski曾猜想存在有無限多個非互補歐拉商數，後來Browkin和Schinzel在1995年證實此一猜想，他們證明無窮數列<math> 2^k \cdot 509203</math>的每一項都是非互補歐拉商數，Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的範例。

==相關條目==
*[[欧拉函数]]
*[[非歐拉商數]]

==參考資料==
* {{cite journal | zbl=0820.11003 | last1=Browkin | first1=J. | last2=Schinzel | first2=A. | title=On integers not of the form n-φ(n) | journal=Colloq. Math. | volume=68 | number=1 | pages=55–58 | year=1995 }}
* {{cite journal | zbl=0965.11003 | last1=Flammenkamp | first1=A. | last2=Luca | first2=F. | title=Infinite families of noncototients | journal=Colloq. Math. | volume=86 | number=1 | pages=37–41 | year=2000 }}
* {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | title=Unsolved problems in number theory |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | pages=[https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr/page/138 138]–142}}

== 外部連結 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Noncototient.html Noncototient definition from MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Noncototient.html |date=20200318184418 }}

<!--{{Totient}}
-->
[[Category:整数数列|F]]