查看“︁靜不定”︁的源代码

{{NoteTA
|T=zh-cn:超静定;zh-hant:靜不定;
|G1=物理學}}

在[[靜力學]]裏，當一個靜態系統中能寫出的所有[[靜力平衡]]方程式的數量少於系統所有的未知變量（應力或力矩等）時，則稱此系統為'''靜不定'''的。此時由於靜力平衡方程式不足以求得系統中所有的未知變量，系統處於靜態卻並不確定，故名為'''靜-{}-不定'''；但实际上系统未知变量数与约束条件数相等，可以认为多出的这些条件使得原本静定的系统处于超稳定的状态，故也可称為'''超-{}-静定'''；稱整個系統為'''靜不定系統'''；無法求得的變量為靜不定量。

根據[[牛頓運動定律]]，在一個二維空間問題中，靜力平衡方程式為
* <math> \sum \vec{F} = 0\,\!</math> ：作用在物體上的力的[[向量]]總和等於零；也就是說
::<math> \sum F_x = 0\,\!</math> ：作用力之水平分量的總和等於零，
::<math> \sum F_y = 0\,\!</math> ：作用力之垂直分量的總和等於零，
* <math> \sum \vec M = 0\,\!</math> ：對任意一點的[[力矩]]總和等於零。

[[File:Statically Indeterminate Beam.svg|thumb|350px|right|圖 1 ，一個靜不定的[[樑]]的[[自由體受力圖]]]]
舉例而言，如圖右，作用在樑上的力 <math>\vec{F}\,\!</math> ，造成了四隻反應力為 <math>V_A,\ V_B,\ V_C,\ H_A\,\!</math> 。靜力平衡方程式為
:<math> \sum  F_x  = 0 </math> ：
::<math>H_A-F_H=0\,\!</math> ，
:<math>\sum F_y=0\,\!</math> ：
::<math>V_A-F_V+V_B+V_C=0\,\!</math> ，
:<math> \sum \vec M = 0 \,\!</math> ：
::<math>F_V \cdot a-V_B\cdot (a+b)-V_C\cdot (a+b+c)=0\,\!</math>  。
這問題有四隻力是未知數（變數） (<math>V_A,\ V_B,\ V_C,\ H_A\,\!</math>) 。但是，只有三個靜力平衡方程式，所以目前我們無法求解這個靜不定系統。為了確定系統中所有的變量，我們必須加入物體[[材料科学|材料]]與[[形變]]的考量。

==靜定系統==
如果，除去這樑在 B 點的支撐 ，就沒有 <math>V_B\,\!</math> 反應力，整個系統成為靜定的。則解答為
:<math>H_A=F_H\,\!</math> ，
:<math>V_C=\frac{F_v \cdot a}{a+b+c}\,\!</math> ，
:<math>V_A=F_v-V_C\,\!</math> 。

如果，我們將 A 點的支撐改為[[滾子]]。那麼，只剩下三隻反應力作用在這樑上（沒有 <math>H_A\,\!</math> ）。但是，這樑現在可以作水平移動；這系統變為''偏約束''的。進一步研究，這問題有兩個未知數，<math>V_A\,\!</math> 與 <math>V_C\,\!</math>。我們可以用 <math>\sum F_y=0\,\!</math> 與 <math> \sum \vec M = 0\, </math> 這兩個方程式來求解答。得到的答案與前面相同。可是，除非 <math>F_H=0\,\!</math> ，方程式 <math>\sum F_x=0\,\!</math> 無法被滿足。

==靜不定度==
[[File:IndeterminateSystemDeterminateReactions01.svg|thumb|right|250px|圖 2 ，一個3度靜定系統。
]]
[[File:DeterminateSystemIndeterminateReactions01.svg|thumb|right|250px|圖 3 ，一個靜定穩定系統。
]]

一個系統的'''靜不定度'''表示的是系統中未知量多出系統靜力方程式的數量，'''靜不定度'''越大，表示系統“超穩定”的程度越高。靜不定度<math>h\,\!</math>的符號有三種形式：
*h < 0, 此時系統是不平衡的。
*h = 0, 此時系統是靜定的。
*h > 0, 此時系統是靜不定的。

一個系統的'''靜不定度'''的表達式是 <math>M-N\,\!</math>。這裏，
*<math>M\,\!</math> 是系統所有未知變量的數量。
*<math>N\,\!</math> 是系統能夠寫出的所有靜力平衡方程式的數量。

計算靜不定度的方法主要有計數法和重構法。計數法方便快捷；重構法則可以更深刻地理解系統的內在構成。下面詳細解釋計數法。

計數法： 

這裡主要處理二維問題。
對於一個二維桁架，首先需要數出其桿或部件數<math>p\,\!</math>。
其次計算出能寫出的所有靜力方程式數目。對於一個靜態物體，其滿足三條靜力方程式：水平受力平衡，垂直受力平衡和力矩平衡。所以可以寫出 
<math>N = 3*p</math>

最後要求出系統所有未知量，或者說約束條件的個數<math>M\,\!</math>。[[約束 (經典力學)|約束]]條件分為'''外約束條件'''<math>m\,\!</math>和'''內約束條件'''<math>n\,\!</math>；外約束條件指的是因與外界，如地面，基座等連結而出現的約束條件；相反地，內約束條件是指因系統內部的連結而出現的約束條件。對於與外部的連結，我們區分三種情況：
*固定節：在平面中禁止所有的三個活動方式：平面和水平的移動以及旋轉。故有三個'''約束條件'''，對應的三個未知量為水平和垂直的受力以及力矩。
*球形鉸：在平面中固定了水平和垂直方向上的移動，只允許旋轉，故有兩個'''約束條件'''，其對應的未知量為兩個方向上的應力。
*平面撐：在平面中只禁止垂直支撐面方向上的移動，允許順著該支撐面的移動和旋轉。故只有一個'''約束條件'''，對應垂直該支撐面的移動。
把所有外部連結所形成的約束條件相加，便可得到'''外約束條件'''數<math>m\,\!</math>。
現在把所有外部連結去除，孤立內部的系統。對於內部的連結我們區分兩種情況：
*鉸鏈：只允許圍繞其軸的轉動，禁止水平和垂直的移動。連帶的約束條件數為2乘連結與該點的桿或部件的數量減一。
*固定節：禁止平面內三種方式的活動。連帶的約束條件數為3乘連結與該點的桿或部件的數量減一。
把所有內部連結形成的約束條件相加，便可得到'''內約束條件'''數<math>n\,\!</math>。

於是就能算出該系統的靜不定度為 <math>h = M-N = m+n-N</math>。

方法應用舉例：對於圖二的結構，我們認為整個框架即是一個部件。於是靜力方程式數量為
<math>N = 3 * 1 = 3</math>
左下角的平面撐附帶兩個約束條件。右下角的球形鉸附帶一個約束條件。
去除所有外部連結後，發現沒有內部連結，所以取內約束條件為零。
於是可以算出
<math>h = (1+2)+3+0-3 = 3</math>
所以系統是3度靜不定的。

對於圖三的結構，我們數出有六個桿件。故靜力方程式數量為
<math>N = 3 * 6 = 18</math>
左下角和右下角的平面撐各附帶兩個約束條件，所以外約束條件數量為<math>m = 2+2 = 4</math>。
去除兩個外部連結後，發現有五個內部連結。四角的鉸鏈各有兩個桿件集結，所以各形成<math>2*(2-1) = 2</math>個約束條件。而上邊中間的鉸鏈有四個桿件集結，所以有<math>2*(4-1) = 6</math>個約束條件。於是內約束條件數量為<math>n = 2*4 + 6 = 14</math>
求出靜不定度為
<math>h = 4+14-18 = 0</math>
所以此系統為靜定穩定結構。

==參閱==
*[[结構工程學]]

[[Category:靜力學|J]]