查看“︁霍赫希尔德同调”︁的源代码

数学中，'''霍赫希尔德同调'''（{{lang|en|Hochschild homology}}）是环上[[结合律|结合]][[代数]]的[[同调论]]。对某些[[函子]]也有一个霍赫希尔德同调。这是以[[德国]]数学家{{tsl|de|Gerhard Hochschild|格哈德·霍赫希尔德}}（Gerhard Hochschild）冠名的。

==代数的霍赫希尔德同调之定义==
设 ''k'' 是一个环，''A'' 是一个结合 ''k''-代数，''M'' 是一个 ''A''-[[双模]]。我们记 ''A''<sup>⊗''n'' </sup> 为 ''A'' 在 ''k'' 上的 ''n'' 重[[张量积]]。给出霍赫希尔德同调的[[链复形]]是

:<math> C_n(A,M) := M \otimes A^{\otimes n} </math> <br /> 

边缘算子 ''d''<sub>''i''</sub> 定义为

:<math> d_0(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = ma_1 \otimes a_2 \cdots \otimes a_n </math>
:<math> d_i(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_n </math>
:<math> d_n(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = a_n m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n-1} </math>

这里对所有 1 ≤ ''i'' ≤ ''n''，''a''<sub>''i''</sub> 属于 ''A''，而 ''m'' ∈ ''M''。如果我们令

:<math> b=\sum_{i=0}^n (-1)^i d_i, </math> 

则 ''b'' ° ''b'' = 0，所以 (''C''<sub>''n''</sub>(''A'',''M''), ''b'') 是一个链复形，叫做'''霍赫希尔德复形'''，它的同调是 ''A'' 系数取 ''M'' 的'''霍赫希尔德同调'''。

===注释===
映射 ''d''<sub>i</sub> 是使[[模]] ''C''<sub>''n''</sub>(''A'',''M'') 成为 ''k''-模[[范畴 (数学)|范畴]]中的[[单纯对象]]的[[面映射]]（{{tsl|en|face map|}}），也就是一个函子 Δ<sup>o</sup> → ''k''-mod，这里 ''Δ'' 是[[单纯范畴]]（{{tsl|en|simplicial category|}}）而 ''k''-mod 是 ''k''-模范畴。这里 Δ<sup>o</sup> 是 Δ 的[[对偶 (范畴论)|反范畴]]。[[退化映射]]（{{tsl|en|degeneracy map||degeneracy map}}）由 ''s''<sub>''i''</sub>(''a''<sub>0</sub> ⊗ ··· ⊗ ''a''<sub>''n''</sub>) = ''a''<sub>0</sub> ⊗ ··· ''a''<sub>i</sub> ⊗ 1 ⊗ ''a''<sub>''i''+1</sub> ⊗ ··· ⊗ ''a''<sub>''n''</sub> 定义。霍赫希尔德同调是这个单纯模的同调。

==函子的霍赫希尔德同调==
单纯圆周 ''S''<sup>1</sup> 是有限带基点集合范畴 ''Fin<sub>*</sub>'' 中一个单纯对象，即一个函子 Δ<sup>o</sup> → ''Fin<sub>*</sub>''。从而，如果 F 是一个函子 ''F'': ''Fin'' → ''k''-mod，通过将 ''F'' 与  ''S''<sup>1</sup> 复合，我们得到一个单纯模
:<math> \Delta^o \overset{S^1}{\longrightarrow} \text{Fin}_* \overset{F}{\longrightarrow} k\text{-}\operatorname{mod}.</math>
这个单纯模的同调是函子 ''F'' 的霍赫希尔德同调。如上交换代数的霍赫希尔德同调是当 ''F'' 是 '''Loday 函子'''的特例。

===Loday 函子===
有限带基点集合范畴的一个[[骨架 (范畴论)|骨架]]由对象

:<math> n_+ = \{0,1,\dots,n\}</math>

给出，这里 0 是基点，而[[态射]]是保持基点的态射。令 ''A'' 是一个交换 ''k''-代数，''M'' 是一个对称 ''A''-双模。Loday 函子 ''L(A,M)'' 作用在 ''Fin<sub>*</sub>'' 中的对象由

:<math> n_+ \mapsto M \otimes A^{\otimes n}. \, </math>

给出。态射

:<math>f:m_+ \rightarrow n_+</math> 

送到态射 f<sub>*</sub>

:<math> f_*(a_0 \otimes \cdots \otimes a_n) = (b_0 \otimes \cdots \otimes b_m) </math> 

这里

:<math> b_j = \prod_{f(i)=j} a_i, \,\, j=0,\dots,n, </math>

而 ''b''<sub>''j''</sub> = 1 如果 ''f''<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(''j'')&nbsp;=&nbsp;∅。

===代数的霍赫希尔德同调之另一描述===
一个交换代数 ''A'' 的系数取一个对称 ''A''-双模 ''M'' 的霍赫希尔德同调是与复合

:<math> \Delta^o \overset{S^1}{\longrightarrow} \text{Fin}_* \overset{\mathcal{L}(A,M)}{\longrightarrow} k\text{-}\operatorname{mod} </math>

相伴的同调，这个定义与上面的定义相同。

==参考文献==
*Jean-Louis Loday, ''Cyclic Homology'', Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
*Richard S. Pierce, ''Associative Algebras'', Graduate Texts in Mathematics (88), Springer, 1982.
*Teimuraz Pirashvili, [http://www.numdam.org/item?id=ASENS_2000_4_33_2_151_0 Hodge decomposition for higher order Hochschild homology] {{Wayback|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_2000_4_33_2_151_0 |date=20171112132154 }}

==相关条目==
*[[循环同调]]（{{tsl|en|Cyclic homology|}}）

[[Category:环论]]
[[Category:同调代数]]