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[[数学]]中，'''霍普夫-里诺定理'''（{{lang|en|Hopf–Rinow theorem}}）是关于[[黎曼流形]]的[[测地线|测地]][[完备空间|完备性]]的一套等价命题，以[[海因茨·霍普夫]]和他的学生[[维利·里诺]]命名。定理如下：

设''M''是黎曼流形，则下列命题等价：

# <math>M</math>的[[有界集合|有界]][[闭集|闭]]子集是[[紧集|紧]]的。
# <math>M</math>是[[完备空间|完备]][[度量空间]]。
# <math>M</math>是测地完备：对<math>M</math>中任意点<math>p</math>，[[指數映射 (黎曼幾何)|指數映射]]<math>\exp_p</math>可定义在整个[[切空间]]<math>T_pM</math>。

而且，以上任一条均可导出对于<math>M</math>中任何两点<math>p</math>和<math>q</math>，存在连起两点的测地线使长度最短（测地线一般是[[极值]]，不一定是最小值）。

==推广==

霍普夫—里诺定理推广至[[长度度量空间]]如下：
:若一[[长度度量空间]]<math>(M,d)</math>是完备和[[局部紧]]，那么<math>M</math>中任意两点可以用长度最短的测地线连起，<math>M</math>的任意有界闭子集是紧的。

==参考书目==
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin.  ISBN 3-540-4267-2 ''See section 1.4''.

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