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在[[拓扑学]]中，'''霍普夫纖維化'''（'''Hopf fibration'''，亦称'''霍普夫纖維丛'''）是最早提出的[[纤维化 (数学)|纤维化]]，其中的纤维是[[圆圈]]（1-球面，{{mvar|S}}<sup>1</sup>），基空间是三维空间中的[[球面]]（2-球面，{{mvar|S}}<sup>2</sup>），而全空间是四维空间中的[[超球面]]（3-球面，{{mvar|S}}<sup>3</sup>）。容易验证，它是非平凡的。即全空间{{mvar|S}}<sup>3</sup>与积空间{{mvar|S}}<sup>1</sup>×{{mvar|S}}<sup>2</sup>不是[[同胚|拓扑同构]]的。

==解释==
运用基本的拓扑学语言，霍普夫纤维化可以解释为一个连续[[满射]]（称为投影）<math>\pi: S^3\rightarrow S^2</math>，使得
:<math>\forall x\in S^2</math>，<math>\pi^{-1}(x)</math>（{{mvar|x}}在映射{{mvar|π}}下的[[原像]]，称为纤维）与 <math>S^1</math> 同胚；

首先注意到，{{mvar|π}}是一个映射，这就意味着，任意两个纤维是不交集，且所有的纤维的并等于全空间{{mvar|S}}<sup>3</sup>，于是所有的纤维是{{mvar|S}}<sup>3</sup>的一个[[不交并|划分]]。通俗地说，霍普夫纖維化描述了用圆圈来填满{{mvar|S}}<sup>3</sup>的一种方式，其中每个圆圈对应{{mvar|S}}<sup>2</sup>里面的一个点。

上面的条件还不足以使它成为一个纤维化，后者需要更强的条件，
:<math>\forall x\in S^2</math>，存在 {{mvar|x}} 的一个邻域 {{mvar|U}}({{mvar|x}})，使得 <math>\pi^{-1}(U(x))</math> 与 <math>S^1\times U(x)</math> 同胚；

这个条件意味着，全空间{{mvar|S}}<sup>3</sup>与积空间{{mvar|S}}<sup>1</sup>×{{mvar|S}}<sup>2</sup>在局部的拓扑性质上是不可区分的。如果全空间与积空间在整体的拓扑性质上也不可区分（即两者同胚），则这个纤维化就是平凡的纤维化，例子如[[切丛]]。全空间与积空间的局部等价性又称为'''局部平凡条件'''。霍普夫纤维化的重要性在于它是第一个非平凡[[纤维丛]]的例子，并且为纤维丛等数学概念的定义提供了模型基础。

==记号==
上面描述的霍普夫纤维化可以记作：
<math>S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ \pi \, } S^2.</math>

==主丛==
{{mvar|S}}<sup>3</sup>中的元素在[[四元数]]乘法下形成一个群{{mvar|G}}。给定一个纤维化之后，{{mvar|S}}<sup>3</sup>中对应于包含单位元的那个{{mvar|S}}<sup>1</sup>纤维的元素自然地构成了{{mvar|G}}的一个子群{{mvar|H}}。现在考虑这个子群{{mvar|H}}中的元素对{{mvar|G}}中元素的右乘，它自然地构成了{{mvar|S}}<sup>3</sup>的一个[[自同构]]，这个自同构保持了纤维不变，即把纤维映射为纤维。

霍普夫纤维化给出了{{mvar|S}}<sup>3</sup>上的纤维用{{mvar|S}}<sup>2</sup>中的元素来进行参数化的一种方式。现在，我们说霍普夫纤维丛是一个主{{mvar|H}}-丛，意味着用{{mvar|H}}中的元素对{{mvar|S}}<sup>3</sup>进行变换后，我们仍然可以采用相同的参数化（即相同的映射{{mvar|π}}），唯一不同的，是每条纤维到{{mvar|S}}<sup>1</sup>的同胚映射变为了另一个同胚映射。

==拓展==
上面提到的霍普夫纤维化是最早的霍普夫纤维化，有时也用这个词来指代更广泛的一类纤维丛。注意到前述纤维丛中涉及的三个超球面分别与复数域上的一些结构同胚（参见[[复射影直线#作为复射影线|复射影直线]]）：
:<math>S^3 \text{ and } S^2(\mathbb{C}), S^1 \text{ and } S^0(\mathbb{C}), S^2 \text{ and } \mathbb{CP}^1</math>

一个很自然的拓展是把上面的复数域换成[[实数]]或[[超复数]]，与实数、复数、[[四元数]]、[[八元数]]对应的霍普夫丛用上面的记号分别表为：
:<math>S^0 \hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1,</math>
:<math>S^1 \hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2,</math>
:<math>S^3 \hookrightarrow S^7 \rightarrow S^4,</math>
:<math>S^7 \hookrightarrow S^{15} \rightarrow S^8.</math>

[[同伦论]]的研究表明，霍普夫丛只有上面四个，它们都不是平凡丛。

==演示==
在[[计算机图形]]影片 {{link-en|Dimensions  (动画)|Dimensions (animation)|Dimensions}} 的第7、8章中提供了关于霍普夫纖維化的演示，也就是给出一个具体的{{mvar|π}}的构造方式。该演示中涉及到更多的概念，如{{link-en|Villarceau circles|Villarceau circles}}。

==参见==
*[[海因茨·霍普夫]]
*[[纤维丛]]

==参考==
*{{cite arXiv|last=Treisman|first=Zachary|eprint=0908.1205|title=A young person's guide to the Hopf fibration}}
* {{citation
    | first = J.F.|last= Adams
    | first2 = M.F.
    | year = 1966
    | title = K-Theory and the Hopf Invariant
    | journal = The Quarterly Journal of Mathematics
    | volume = 17
    | issue = 1
    | pages = 31–38|last2=Atiyah
    | doi = 10.1093/qmath/17.1.31
}}
*{{cite book | last = Husemoller | first = Dale | title = Fibre Bundles | publisher = Springer | edition = Third |location = New York | year=1994 | isbn=978-0-387-94087-8}}

[[category:纤维丛]]