查看“︁霍普夫代數”︁的源代码

在[[數學]]中，'''霍普夫代數（英文: Hopf algebra）'''是一類[[雙代數]]，亦即具有相容的[[結合代數]]與[[餘代數]]結構的[[向量空間]]，配上一個'''對極映射'''，後者推廣了[[群]]上的逆元運算 <math>g \mapsto g^{-1}</math>。霍普夫代數以數學家[[海因茨·霍普夫]]命名，此類結構廣見於[[代數拓撲]]、[[群概形]]、[[群]]論、[[量子群]]等數學領域。

== 定義 ==
所謂霍普夫代數，是指一個[[域 (數學)|域]] <math>K</math> 上的[[雙代數]] <math>(H, \nabla, \Delta, \eta, \epsilon)</math>，配上一個線性映射 <math>S: H \to H</math>（稱為對極映射），使得下述圖表交換：

<div style="text-align: center;">
[[File:Hopf algebra.svg|antipode commutative diagram]]
</div>

利用 Sweedler 記號，此定義亦可表為
: <math>\forall c \in C, \quad S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon(c)1</math>

對極映射可理解為 <math>\mathrm{id}: H \to H</math> 對[[卷積]]之逆，故其若存在必唯一。當 <math>S^2 = \mathrm{id}</math>，則稱 <math>H</math> 為'''對合'''的；交換或餘交換霍普夫代數必對合。

根據定義，有限維霍普夫代數的[[對偶空間]]也帶有自然的霍普夫代數結構。

== 例子 ==
'''群代數'''. 設 <math>G</math> 為群，可賦予[[群代數]] <math>K[G]</math> 下述霍普夫代數結構：
* <math>\Delta: K[G] \to K[G] \otimes K[G], \quad \forall g \in G, \Delta(g) = g \otimes g</math>
* <math>\epsilon: K[G] \to K, \quad \forall g \in G, \epsilon(g)=1</math>
* <math>S: K[G] \to K[G], \quad \forall g \in G, S(g) = g^{-1}</math>

'''有限群上的函數'''. 設 <math>G</math> 為有限群，置 <math>K^G</math> 為所有 <math>G \to K</math> 的函數，並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構 <math>K^G \otimes K^G = K^{G \times G}</math>。定義：
* <math>\Delta: K^G \to K^{G \times G}, \quad \Delta(f)(x,y) = f(xy)</math>
* <math>\epsilon: K^G \to G, \quad \epsilon(f)=f(e)</math>
* <math>S: K^G \to K^G, \quad S(f)(x) = f(x^{-1})</math>

'''仿射代數概形的座標環'''：處理方式同上。

'''泛包絡代數'''. 假設 <math>\mathfrak{g}</math> 是域 <math>K</math> 上的[[李代數]]，置 <math>U := U(\mathfrak{g})</math> 為其[[泛包絡代數]]，定義：
* <math>\Delta: U \to U \otimes U, \quad \forall g \in \mathfrak{g}, \Delta(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x</math>
* <math>S: U \to U, \quad \forall x \in \mathfrak{g}, S(x)=-x</math>
後兩條規則與[[交換子]]相容，因此可唯一地延拓至整個 <math>U</math> 上。

== 李群的上同調 ==
[[李群]]的[[上同調]]代數構成一個霍普夫代數，其代數結構由上同調的[[上積]]給出，餘代數結構則來自群乘法 <math>G \times G \to G</math>，由此導出
: <math>H^\bullet(G) \to H^\bullet(G \times G) = H^\bullet(G) \otimes H^\bullet(G)</math>

對極映射來自 <math>G \to G: g \mapsto g^{-1}</math>。這是霍普夫代數的歷史起源，事實上，霍普夫藉著研究這種結構，得以證明李群上同調的結構定理：

'''定理（霍普夫，1941年）'''<ref> H. Hopf, Uber die Topologie der
 Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer 
Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119-151, Springer, Berlin (1964). {{MathSciNet | id = 4784}}</ref>.
: 設 <math>A</math> 為 <math>K</math> 上的有限維分次交換、餘交換之霍普夫代數，則 <math>A</math>（視為 <math>K</math>-代數）同構於由奇數次元素生成的自由[[外代數]]。

== 量子群與非交換幾何 ==
{{Main|量子群}}
上述所有例子若非交換便是餘交換的。另一方面，泛包絡代數的某些「變形」或「[[量子化]]」可給出非交換亦非餘交換的例子；這類霍普夫代數常被稱為[[量子群]]，儘管嚴格而言它們並不是群。這類代數在[[非交換幾何]]中相當重要：一個仿射代數群可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃，而這些霍普夫代數的變形則可設想為某類「量子化」了的代數群（實則非群）。

== 文獻 ==
* Eiichi Abe, ''Hopf Algebras'' (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0
* Jurgen Fuchs, ''Affine Lie Algebras and Quantum Groups'', (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
* Ross Moore, Sam Williams and Ross Talent: [https://web.archive.org/web/20050825034431/http://www-texdev.ics.mq.edu.au/Quantum/Quantum.ps Quantum Groups: an entrée to modern algebra]
* Pierre Cartier, [https://web.archive.org/web/20070926233755/http://www.ihes.fr/PREPRINTS/2006/M/M-06-40.pdf ''A primer of Hopf algebras''], IHES preprint, September 2006, 81 pages

== 註記 ==

<references />

[[Category:霍普夫代數|*]]
[[Category:表示论|H]]