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在[[数学]]特别是[[代数拓扑学]]中，'''霍普夫不变量'''（{{lang-en|Hopf invariant}}）是[[球面]]之间某些映射的一个[[同伦]]不变量。
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== 历史 ==
1931年[[海因茨·霍普夫]]利用[[克利福德平行]]（{{link-en|Clifford parallel|Clifford parallel}}）构造了[[霍普夫映射]] <math>\eta\colon S^3 \to S^2</math>，并通过利用圆周 
<math>\eta^{-1}(x),\eta^{-1}(y) \subset S^3</math> 对任意 <math>x \neq y \in S^2</math> 的[[环绕数]]（=1），证明了 <math>\eta</math> 是本质的，即不[[同伦]]于常值映射。随后证明了[[同伦群]] <math>\pi_3(S^2)</math> 是由 <math>\eta</math> 生成的无限[[循环群]]。1951年，[[让-皮埃尔·塞尔]]证明了对一个奇数维球面（<math>n</math> 奇）[[有理同伦群]] <math>\pi_i(S^n) \otimes \mathbb{Q}</math> 是零除非 ''i'' = 0 或 ''n''。但对一个偶数维球面（<math>n</math> 偶），在 <math>2n-1</math> 次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法：

== 定义 ==

设 <math>\phi \colon S^{2n-1} \to S^n</math> 是一个[[连续映射]]（假设 <math>n>1</math>）。则我们可以构造[[胞腔复形]]

: <math>C_\phi = S^n \cup_\phi D^{2n},</math>

这里 <math>D^{2n}</math> 是 <math>2n</math>-维圆盘通过 <math>\phi</math> 贴上一个 <math>S^n</math>。
胞腔链群 <math>C^*_\mathrm{cell}(C_\phi)</math> 在度数 <math>n</math> 只是由 <math>n</math>-胞腔自由生成，故它们在度数 0、<math>n</math> 与 <math>2n</math>是 <math>\mathbb{Z}</math>，其余都是零。胞腔（上）同调是该[[链复形]]的（上）同调，因为所有边缘同态必然是零（注意到 <math>n>1</math>），上同调是

: <math>H^i_\mathrm{cell}(C_\phi) = \begin{cases} \mathbb{Z} & i=0,n,2n, \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases}</math>

记这些上同调群的生成元为

: <math>H^n(C_\phi) = \langle\alpha\rangle</math> 与 <math>H^{2n}(C_\phi) = \langle\beta\rangle.</math>

因为维数原因，这些类之间的所有杯积除了 <math>\alpha \smile \alpha</math> 一定都是平凡的。从而作为一个环，上同调是

: <math>H^*(C_\phi) = \mathbb{Z}[\alpha,\beta]/\langle \beta\smile\beta = \alpha\smile\beta = 0, \alpha\smile\alpha=h(\phi)\beta\rangle.</math>

整数 <math>h(\phi)</math> 是映射 <math>\phi</math> 的'''霍普夫不变量'''。

== 性质 ==
'''定理'''：<math>h\colon\pi_{2n-1}(S^n)\to\mathbb{Z}</math> 是一个同态。进一步，如果 <math>n</math> 是偶数，则 <math>h</math> 映到 <math>2\mathbb{Z}</math>。

对霍普夫映射霍普夫不变量是 <math>1</math>（这里 <math>n=1,2,4,8</math>，分别对应于实可除代数 <math>\mathbb{A}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}</math>，而二重覆叠 <math>S(\mathbb{A}^2)\to\mathbb{PA}^1</math> 将球面上的一个方向送到它生成的子空间）。只有这些映射的霍普夫不变量是 1，这是最先由[[弗兰克·亚当斯]]（{{link-en|Frank Adams|Frank Adams}}）证明的一个定理，后来[[迈克尔·阿蒂亚]]利用 [[K-理论]]重新给出了证明。

== 推广到稳定映射 ==

可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念，但需要一些同伦论知识预备：

设 <math>V</math> 表示一个向量空间而 <math>V^\infty</math> 是其[[单点紧化]]，即对某个 <math>k</math> 有 <math>V \cong \mathbb{R}^k</math> 而 <math>V^\infty \cong S^k</math>。如果 <math>(X,x_0)</math> 是任意带基点的空间（在上一节中不明确），如果我们去[[无穷远点]]为 <math>V^\infty</math> 的基点，则我们可以构造楔积 <math>V^\infty \wedge X</math>。

现在令 <math>F \colon V^\infty \wedge X \to V^\infty \wedge Y</math> 是一个稳定映射，即在[[约化垂纬]]函子下稳定。<math>F</math> 的（稳定）'''几何霍普夫不变量'''是

<math>h(F) \in \{X, Y \wedge Y\}_{\mathbb{Z}_2}</math>，

是从 <math>X</math> 到 <math>Y \wedge Y</math> 映射的稳定 <math>\mathbb{Z}_2</math>-等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”，即通常等变同伦群在 <math>V</math> 上（或 <math>k</math>，如果你愿意）的正向极限；而 <math>\mathbb{Z}_2</math>-作用是 <math>X</math> 的平凡作用与交换 <math>Y \wedge Y</math> 中两个因子。如果我们令 <math>\Delta_X \colon X \to X \wedge X</math> 表示典范对焦映射而 <math>I</math> 是恒等，则霍普夫不变量由下式定义：

<math>h(F) := (F \wedge F) (I \wedge \Delta_X) - (I \wedge \Delta_Y) (I \wedge F).</math>

这个映射原本是从 <math>V^\infty \wedge V^\infty \wedge X</math> 到 <math>V^\infty \wedge V^\infty \wedge Y \wedge Y</math> 的映射，但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦 <math>\mathbb{Z}_2</math>-等变群的典型元素。

也有一个非稳定版本的霍普夫不变量 <math>h_V(F)</math>，为此我们必须考虑向量空间 <math>V</math>。

==参考文献==
* {{citation
 | first = J.F.|last= Adams
 | year = 1960
 | title = On the non-existence of elements of Hopf invariant one
 | journal = Ann. Math.
 | volume = 72
 | pages = 20–104
}}
* {{citation
 | first = J.F.|last= Adams
 | first2 = M.F.
 | year = 1966
 | title = K-Theory and the Hopf Invariant
 | journal = The Quarterly Journal of Mathematics
 | volume = 17
 | issue = 1
 | pages = 31–38
 | unused_data = |last2=Atiyah
}}

* {{citation
 |first        = M.
 |last         = Crabb
 |first2       = A.
 |last2        = Ranicki
 |year         = 2006
 |title        = The geometric Hopf invariant
 |url          = http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/slides/hopfbeam.pdf
 |accessdate   = 2009-06-22
 |archive-date = 2016-03-03
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160303171556/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/slides/hopfbeam.pdf
}}
* {{Citation | last1=Hopf | first1=Heinz | title=Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche | year=1931 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=104 | pages=637–665}}
*{{springer|first=A.V. |last=Shokurov|title=Hopf invariant|id=h/h048000}}

[[Category:同伦论]]