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[[电磁波]]在穿透[[大气层|大气]]时，因[[帶電粒子|带电粒子]]的影响而产生的时间延迟被称为'''电离层延迟'''（{{Lang-en|Ionospheric delay}}）<ref>{{Cite journal|title=Ionospheric Time-Delay Algorithm for Single-Frequency GPS Users|author=|url=http://dx.doi.org/10.1109/taes.1987.310829|last=Klobuchar|first=John|date=1987-05|journal=IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems|issue=3|doi=10.1109/taes.1987.310829|others=|year=|volume=AES-23|page=|pages=325–331|language=en|issn=0018-9251|pmid=}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|chapter=|first2=Penina|pages=|publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics|date=1996|location=Washington DC|isbn=978-1-56347-106-3|doi=10.2514/4.866388|first=James J.|last=Spilker Jr.|url=https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/4.866388|first3=Bradford W.|last2=Axelrad|last3=Parkinson|first4=Per|last4=Enge|editor-first=Penina|editor-last=Axelrad|title=Global Positioning System: Theory and Applications, Volume I|year=|language=en}}</ref><ref name="whugps">李征航，黄劲松编著．GPS测量与数据处理（第三版）．武汉：武汉大学出版社，2016．ISBN 978-7-307-17680-5．</ref>。电离层延迟主要产生于距地表50－1000 km的[[电离层]]内，带电粒子对电磁波的[[折射]]、[[衍射]]与[[散射]]等效应改变了电磁波的传播速度与传播方向<ref name=":3">{{Cite book|chapter=|title=Springer Handbook of Global Navigation Satellite Systems|url=http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-42928-1_12|publisher=Springer International Publishing|date=|location=|isbn=978-3-319-42926-7|pages=|first=Peter|last=J.G. Teunissen|year=2017|first2=Oliver|last2=Montenbruck|language=en}}</ref>，在依赖于电磁波的距离观测中引入了系统误差，对卫星[[多普勒测量]]、[[GNSS]]、[[VLBI]]等[[空间大地测量]]技术产生了不可忽略的影响<ref name=":0">{{Cite book|chapter=Coping with the Atmosphere and Ionosphere in Precise Satellite and Ground Positioning|title=Geophysical Monograph Series|url=http://doi.wiley.com/10.1029/GM073p0001|publisher=American Geophysical Union|date=1993|location=Washington, D. C.|isbn=978-1-118-66654-8|pages=1–16|doi=10.1029/gm073p0001|first=Thomas P.|last=Yunck|editor-first=A. Vallance|editor-last=Jones|year=|language=en}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal|title=Astrometry and geodesy with radio interferometry: experiments, models, results|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.70.1393|last=Sovers|first=Ojars J.|last2=Fanselow|first2=John L.|date=1998-10-01|journal=Reviews of Modern Physics|issue=4|doi=10.1103/RevModPhys.70.1393|volume=70|pages=1393–1454|language=en|issn=0034-6861|last3=Jacobs|first3=Christopher S.}}</ref><ref name=":4">袁运斌. [https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CDFD&dbname=CDFD9908&filename=2003040660.nh&v=IphRzyfhHia0RF8JKgYgNp1YS7dRPQDNiLjT6ARgDY0sbT2hUHRbFIicC7tjpmKp 基于GPS的电离层监测及延迟改正理论与方法的研究]. 中国科学院研究生院（测量与地球物理研究所）, 博士学位论文，2002.</ref>。

电离层延迟主要影响频率较低的[[无线电波]]信号，对工作于[[X波段]]的[[VLBI]]与工作于[[L波段]]的[[GNSS]]导航信号，其量级分别可达米级与十米级<ref name=":0" /><ref name=":2" />。由于[[太阳活动]]与中性大气的[[电离]]程度有着密切联系<ref>{{Cite book|chapter=|first3=Owen K.|location=|year=|title=Introduction to Ionospheric Physics|last4=Plumb|first4=R. Alan|last3=Garriott|last2=Rishbeth|url=https://books.google.com/books?id=PNbWjgEACAAJ&source=qrcode|first2=Henry|last=Marshall|first=John|language=en|isbn=978-0-12-588940-7|date=1969|publisher=Academic Press|pages=}}</ref>，在[[昼间]]与太阳活动更为频繁的时段，电离层延迟的影响亦会更加严重<ref>{{Cite journal|title=Improvement of Klobuchar model for GNSS single-frequency ionospheric delay corrections|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0273117716000338|last=Wang|first=Ningbo|last2=Yuan|first2=Yunbin|date=2016-04|journal=Advances in Space Research|issue=7|doi=10.1016/j.asr.2016.01.010|volume=57|pages=1555–1569|language=en|last3=Li|first3=Zishen|last4=Huo|first4=Xingliang|access-date=2020-11-26|archive-date=2020-06-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20200603125604/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0273117716000338}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Ionospheric error contribution to GNSS single-frequency navigation at the 2014 solar maximum|url=http://link.springer.com/10.1007/s00190-016-0971-0|last=Orus Perez|first=Raul|date=2017-04|journal=Journal of Geodesy|issue=4|doi=10.1007/s00190-016-0971-0|volume=91|pages=397–407|language=en|issn=0949-7714}}</ref>。除了规律性的周日变化、季节变化，以及依纬度而改变的地理变化外<ref>Delikaraoglou, Demitris. (1988). [https://www.researchgate.net/publication/235662246_On_the_stochastic_modelling_of_GPS_ionospheric_delays On the stochastic modelling of GPS ionospheric delays]. Manuscripta Geodetica{{Language icon|en}}. </ref>，电离层延迟还受到电离层时空特征的不规则性，以及电离层暴、电离层扰动等突变现象的影响，造成导航信号的衰落和畸变等<ref>{{Cite journal|title=Solar activity effects of the ionosphere: A brief review|url=http://link.springer.com/10.1007/s11434-010-4226-9|last=Liu|first=LiBo|last2=Wan|first2=WeiXing|date=2011-04|journal=Chinese Science Bulletin|issue=12|doi=10.1007/s11434-010-4226-9|volume=56|pages=1202–1211|language=en|issn=1001-6538|last3=Chen|first3=YiDing|last4=Le|first4=HuiJun}}</ref>。

在[[GPS]]及各GNSS系统建成后，受益于分布在全球各地的地面监测站，GNSS成为了电离层延迟研究中应用最广的技术手段<ref>{{Cite journal|title=The ionosphere: effects, GPS modeling and the benefits for space geodetic techniques|url=http://link.springer.com/10.1007/s00190-011-0508-5|last=Hernández-Pajares|first=Manuel|last2=Juan|first2=J. Miguel|date=2011-12|journal=Journal of Geodesy|issue=12|doi=10.1007/s00190-011-0508-5|volume=85|pages=887–907|language=en|issn=0949-7714|last3=Sanz|first3=Jaume|last4=Aragón-Àngel|first4=Àngela|last5=García-Rigo|first5=Alberto|last6=Salazar|first6=Dagoberto|last7=Escudero|first7=Miquel}}</ref><ref name=":5">王宁波. [https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CJFD&dbname=CJFDLAST2017&filename=CHXB201708017&v=eeCOSchJb7upiOHMi%25mmd2F499jazwIIA8eCwBOV7S1irOenjwLPs3B8gAu62JluUW1Kw GNSS差分码偏差处理方法及全球广播电离层模型研究]. 中国科学院大学（测量与地球物理研究所）, 博士学位论文，2016.</ref>。一方面，电离层延迟是GNSS测量中最主要、最复杂的误差来源之一<ref name=":4" /><ref>Liu, Z. (2004). [https://prism.ucalgary.ca/handle/1880/41740 Ionosphere tomographic modeling and applications using Global Positioning System (GPS) measurements] {{Wayback|url=https://prism.ucalgary.ca/handle/1880/41740 |date=20200923221604 }} (Unpublished doctoral thesis). University of Calgary, Calgary, AB. doi:10.11575/PRISM/17654{{Language icon|en}}.</ref>；另一方面，通过双频GNSS测量能够以较高的精度反演大气中的总电子含量，建立电离层模型，为其他空间大地测量技术提供电离层延迟的修正方法，同时对电离层活动进行大范围、长期、连续的监测，研究电离层的空间结构与变化特征等<ref name="#1">章红平. 基于地基GPS的中国区域电离层监测与延迟改正研究. 中国科学院研究生院（上海天文台）, 博士学位论文，2006.</ref><ref>刘长建. [https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CDFD&dbname=CDFD1214&filename=1012325173.nh&v=ko0QGl%25mmd2FxgI3%25mmd2FQ5q%25mmd2BXoH0YgB9itfWFfBNVArjHOgq8%25mmd2B4tY4Z51UnvsrwTqRkvcgCL GNSS电离层建模方法与质量控制的研究] {{Wayback|url=https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CDFD&dbname=CDFD1214&filename=1012325173.nh&v=ko0QGl%25mmd2FxgI3%25mmd2FQ5q%25mmd2BXoH0YgB9itfWFfBNVArjHOgq8%25mmd2B4tY4Z51UnvsrwTqRkvcgCL |date=20201204081019 }}. 解放军信息工程大学, 博士学位论文，2011.</ref><ref>李子申. GNSS/Compass电离层时延修正及TEC监测理论与方法研究. 中国科学院研究生院（测量与地球物理研究所）, 博士学位论文，2012.</ref>。

== 数学描述 ==
由于电离层的色散效应，当GNSS信号穿越电离层时，调制在载波上的测距码信号的传播速度与载波的相位传播速度发生分离，两者分别被称为[[群速度]]与[[相速度]]<ref>{{Cite book|chapter=Propagation of the GPS signals|title=GPS for Geodesy|series=Lecture Notes in Earth Sciences|url=https://doi.org/10.1007/BFb0117680|publisher=Springer|date=1996|location=Berlin, Heidelberg|isbn=978-3-540-49447-8|pages=103–140|doi=10.1007/bfb0117680|language=en|first=Richard B.|last=Langley|editor-first=Alfred|editor-last=Kleusberg}}</ref>。在接收机分别使用载波相位与测距码获取距离观测值时，电离层延迟即分别表现为相位超前和距离延迟。仅考虑电离层折射对观测值的影响，具体的相位超前值 <math>I_\text{p}</math> 与距离延迟值 <math>I_\text{g}</math> ，由信号传播路径 <math>l</math> 上相折射指数 <math>n_\text{p}</math> 和群折射指数 <math>n_\text{g}</math> 决定<ref name=":4" /><ref name=":5" />：
:<math>I_\text{p} = \int\left(n_\text{p}-1\right)\operatorname{d}\!l
</math>
:<math>I_\text{g} = \int\left(n_\text{g}-1\right)\operatorname{d}\!l
</math>

=== 电离层折射指数 ===

==== 相折射指数 ====
对于L波段上的导航信号，电离层的首要成因是信号在穿越电离层介质产生的折射效应<ref name=":4" /><ref name="#1"/>。根据[[等离子体]]介质的性质，以及GNSS信号[[極化|右旋极化模式]]的特性，可以使用{{Link-en|阿普尔顿-哈特里方程|Appleton–Hartree equation}}推导出电离层的[[折射系數|相折射指数]]<ref>{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.com/books?id=RAf1CAAAQBAJ|publisher=Springer Science & Business Media|date=2013-03-09|isbn=978-94-017-3665-7|language=en|first=K.|last=Rawer|title=Wave Propagation in the Ionosphere|year=|location=|pages=}}</ref>，其简化后的[[级数|级数表达式]]为<ref>Brunner F K; Gu M. An improved model for the dual frequency ionospheric correction of GPS observations. Manuscripta geodaetica, 1991, '''16'''(3): 205-214.</ref><ref>{{Cite journal|title=Bounding higher-order ionosphere errors for the dual-frequency GPS user|url=https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1029/2007RS003772|last=Datta‐Barua|first=S.|last2=Walter|first2=T.|date=2008|journal=Radio Science|issue=5|doi=10.1029/2007RS003772|volume=43|language=en|issn=1944-799X|last3=Blanch|first3=J.|last4=Enge|first4=P.}}</ref>
:<math>n_\text{p} = 1 - \frac{1}{2}X - \frac{1}{2}XY\cos\theta - \frac{1}{8}X^2</math>
式中各项的含义如下：

* <math>X = \frac{f_\text{p}^2}{f^2} = \frac{Ne^2}{4\pi^2{\varepsilon_0}m}</math>，<math>f_\text{p}</math> 为[[等离子体参数|等离子体频率]]，是电子密度为 <math>N</math> 的等离子体发生简谐振荡的振荡频率；
* <math>Y = \frac{f_\text{g}}{f} = \frac{eB}{2{\pi}m_\text{e}}</math>，<math>f_\text{g}</math> 为电子磁旋频率<ref>{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.com/books?id=qSQ5AAAAIAAJ|publisher=McGraw-Hill|date=1964|language=en|first=John Morris|last=Kelso|title=Radio Ray Propagation in the Ionosphere|year=|isbn=|location=|pages=|access-date=2020-11-27|archive-date=2016-05-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20160518120609/https://books.google.com/books?id=qSQ5AAAAIAAJ}}</ref>，是电子在[[磁場強度|场强]]为 <math>B</math> 的[[地磁场]]下发生磁旋的频率；
* <math>f</math> 为GNSS信号的工作频率，<math>e</math> 为[[基本电荷]],  <math>\varepsilon_0</math> 为[[真空介电常数]]，<math>m_\text{e}</math> 为电子质量， <math>    \theta</math> 为电磁波法线与磁场方向的夹角。

将级数表达式中的各项表达成频率 <math>f</math> 的系数，并沿路径 <math>l</math> 进行积分，得
:<math>I_\text{p} = I_{1\text{p}} + I_{2\text{p}} + I_{3\text{p}}</math>
式中，

* <math>    I_{1\text{p}} = -\frac{e^2\int{Ne}\operatorname{d}\!l}{8\pi^2{\varepsilon_0}m_\text{e}} \cdot \frac{1}{f^2}
    \approx -\frac{40.309\int{Ne}\operatorname{d}\!l}{f^2}</math>
* <math>    I_{2\text{p}} = -\frac{e^2\int{(Ne)B\cos\theta}\operatorname{d}\!l}{16\pi^3{\varepsilon_0}m_\text{e}^2} \cdot \frac{1}{f^3}
    \approx -\frac{1.1283\cdot10^{12}\int{(Ne)B\cos\theta}\operatorname{d}\!l}{f^3}</math>
* <math>    I_{3\text{p}} = -\frac{e^2\int{(Ne)^2}\operatorname{d}\!l}{128\pi^4{\varepsilon_0}^2m_\text{e}^2} \cdot \frac{1}{f^4}
    \approx -\frac{812.47\int{(Ne)^2}\operatorname{d}\!l}{f^4}</math>

分别被称为电离层延迟的一阶项、二阶项与三阶项<ref>{{Cite journal|title=Higher order ionospheric effects in precise GNSS positioning|url=http://link.springer.com/10.1007/s00190-006-0106-0|last=Hoque|first=M. Mainul|last2=Jakowski|first2=N.|date=2007-03-29|journal=Journal of Geodesy|issue=4|doi=10.1007/s00190-006-0106-0|volume=81|pages=259–268|language=en|issn=0949-7714}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Estimate of higher order ionospheric errors in GNSS positioning: IONOSPHERIC ERRORS IN GNSS POSITIONING|url=http://doi.wiley.com/10.1029/2007RS003817|last=Hoque|first=M. Mainul|last2=Jakowski|first2=N.|date=2008-10|journal=Radio Science|issue=5|doi=10.1029/2007RS003817|volume=43|pages=n/a–n/a|language=en}}</ref>。随着阶数的升高，各阶电离层延迟的绝对值逐渐减小，其中一阶电离层占总电离层延迟的影响通常在99%以上。对于GPS播发的L1导航信号（频率为1575.42 MHz），前三阶电离层的影响一般可达到十米级、厘米级与微米级<ref>{{Cite journal|title=Higher order ionospheric propagation effects on GPS radio occultation signals|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0273117710001183|last=Hoque|first=M. Mainul|last2=Jakowski|first2=N.|date=2010-07|journal=Advances in Space Research|issue=2|doi=10.1016/j.asr.2010.02.013|volume=46|pages=162–173|language=en|access-date=2020-11-27|archive-date=2018-07-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20180702040429/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0273117710001183}}</ref>。即便是在太阳活动的峰值期，低高度角处的二阶电离层延迟通常也不会超过12 cm，三阶电离层的影响则通常不会超过6 mm<ref name=":3" />。因此，在一般应用中通常只考虑电离层一阶项的影响；但在精密定位、精密定轨等高精度应用中，则需要考虑电离层二阶与三阶项的影响<ref>{{Cite journal|title=The effect of the second order GPS ionospheric correction on receiver positions: SECOND ORDER IONOSPHERE GPS CORRECTION|url=http://doi.wiley.com/10.1029/2003GL017639|last=Kedar|first=S.|last2=Hajj|first2=G. A.|date=2003-08|journal=Geophysical Research Letters|issue=16|doi=10.1029/2003GL017639|volume=30|language=en|last3=Wilson|first3=B. D.|last4=Heflin|first4=M. B.}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Second-order ionospheric term in GPS: Implementation and impact on geodetic estimates|url=http://doi.wiley.com/10.1029/2006JB004707|last=Hernández-Pajares|first=M.|last2=Juan|first2=J. M.|date=2007-08-29|journal=Journal of Geophysical Research|issue=B8|doi=10.1029/2006JB004707|volume=112|pages=B08417|language=en|issn=0148-0227|last3=Sanz|first3=J.|last4=Orús|first4=R.}}</ref>。

==== 群折射指数 ====
对于使用测距码的伪距测量模式，其受到的电离层延迟由群折射指数决定，其中群折射指数 <math>n_\text{g}</math> 与 相折射指数 <math>n_\text{p}</math> 的关系为
:<math>n_\text{g} = n_\text{p} + f\frac{\operatorname{d}\!n_\text{p}}{\operatorname{d}\!f}</math>
因此有
:<math>I_\text{g} = I_{1\text{g}} + I_{2\text{g}} + I_{3\text{g}}</math>
式中，

* <math>    I_{1\text{g}} = - I_{1\text{p}}
    \approx \frac{40.309\int{Ne}\operatorname{d}\!l}{f^2}</math>
* <math>    I_{2\text{p}} = -2I_{2\text{p}}
    \approx \frac{2.2566\cdot10^{12}\int{(Ne)B\cos\theta}\operatorname{d}\!l}{f^3}</math>
* <math>    I_{3\text{p}} = -3I_{3\text{p}}
    \approx -\frac{2437.4\int{(Ne)^2}\operatorname{d}\!l}{f^4}</math>
在相同的大气环境下，二阶电离层延迟对伪距测量的影响是相位测量的两倍，三阶电离层延迟对伪距测量的影响是相位测量的三倍。然而，对于主要的一阶电离层延迟，伪距测量和相位测量受到的影响大小相等且符号相反。依据这一原理，可以组成半和改正观测值，以抵消电离层延迟一阶项的影响<ref name=":0" />。

=== 单层电离层模型 ===
由电离层延迟的计算公式，可见决定电离层大小的关键因素是信号传播路径上的电子密度 <math>    Ne</math> 的分布情况<ref name=":3" />。按电离层内电子密度分布的描述方式，可将电离层模型分为二维模型和三维模型。其中二维模型将垂直方向上的电子集中于某一高度确定的薄层上，因此又称单层电离层模型（{{Lang-en|Single-Layer Model}}，缩写：SLM）。相较于三维模型，二维单层模型的数学结构更为简单，较有利于描述电离层总电子含量的分布特征<ref name=":5" />。当前[[GPS]]与[[北斗卫星导航系统]]使用的广播电离层模型即为基于电离层薄层假设建立的单层电离层模型。

==== 总电子含量 ====
仅依靠GNSS测量，虽通常无法获得信号传播路径上电子密度的分布信息，但能较好地测定整个传播路径上电子密度的总和<ref name=":4" />，这一概念被定义为总电子含量（{{Lang-en|Total Electron Content}}，缩写：TEC）。其中，斜路径上的总电子含量（{{Lang-en|Slant TEC}}，缩写：STEC）为沿信号传播路径上电子密度的积分<ref>{{Cite journal|title=Ionospheric total electron content and slab thickness determined in Australia|url=http://doi.wiley.com/10.1029/97RS00454|last=Breed|first=A. M.|last2=Goodwin|first2=G. L.|date=1997-07|journal=Radio Science|issue=4|doi=10.1029/97RS00454|volume=32|pages=1635–1643|language=en|last3=Vandenberg|first3=A-M.|last4=Essex|first4=E. A.|last5=Lynn|first5=K. J. W.|last6=Silby|first6=J. H.}}</ref><ref name=":6">{{Cite thesis|degree=Ph.D|chapter=|title=Mapping and predicting the earth's ionosphere using the Global Positioning System|url=http://ftp.aiub.unibe.ch/papers/ionodiss.ps|author=|last=Stefan|first=Schaer|year=1999|publisher=University of Berne|accessdate=|docket=|oclc=|language=en|archive-date=2020-12-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20201205111242/http://ftp.aiub.unibe.ch/papers/ionodiss.ps}}</ref>：
:<math>\text{STEC} = \int{Ne}\operatorname{d}\!l </math>
而天顶方向上的总电子含量（{{Lang-en|Vertical TEC}}，缩写：VTEC）为沿天顶方向上电子密度的积分：
:<math>\text{VTEC} = \int{Ne}\operatorname{d}\!h </math>
总电子含量的单位一般为 TECU， 1 TECU相当于 10<sup>16</sup> 电子每平方米。

此时，一阶电离层延迟可写作 STEC 的函数：
:<math>I_{1\text{p}} \approx -\frac{40.309\,\text{STEC}}{f^2},\quad
    I_{1\text{g}} \approx \frac{40.309\,\text{STEC}}{f^2}</math>
==== 电离层薄层假设 ====
根据地面测站计算的 VTEC，可将电离层简化为一个集中了垂直方向上所有自由电子的单层薄层上，薄层的高度通常被固定为自由电子含量最高的350－450 km处<ref name=":6" /><ref>Komjathy A, Langley R B. [http://gauss.gge.unb.ca/grads/attila/papers/igs96/igs96.htm The effect of shell height on high precision ionospheric modelling using GPS] {{Wayback|url=http://gauss.gge.unb.ca/grads/attila/papers/igs96/igs96.htm |date=20201206153002 }}. Proceedings of the 1996 IGS workshop international GPS service for geodynamics (IGS). 1996, p. 203{{Language icon|en}}.</ref><ref>{{Cite journal|title=Use of total electron content data to analyze ionosphere electron density gradients|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0273117707000567|last=Nava|first=B.|last2=Radicella|first2=S.M.|date=2007-01|journal=Advances in Space Research|issue=8|doi=10.1016/j.asr.2007.01.041|volume=39|pages=1292–1297|language=en|last3=Leitinger|first3=R.|last4=Coïsson|first4=P.|access-date=2020-11-27|archive-date=2018-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20180627192223/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0273117707000567}}</ref>。在该模型下，用户计算电离层延迟所需的 STEC 与由监测或插值、预报等方式得到的 VTEC 通过[[投影函数]]进行转换：
:<math>M(Z) = \frac{\text{STEC}}{\text{VTEC}} = \frac{1}{\cos\zeta}
    = {\left[1-{\left(\frac{R_\text{E}\sin{Z}}{R_\text{E}+H_\text{ion}}\right)}^2\right]}^{-1/2} </math>
式中，投影函数 <math>M</math> 是卫星相对于测站的天顶距 <math>Z </math> 的函数，而 <math>\zeta </math> 是卫星相对于电离层穿刺点的天顶距。电离层穿刺点（{{Lang-en|Ionosphere Pierce Point}}，缩写：IPP）是卫星与测站的连线和薄层的交点。上述的投影函数直接由测站、卫星与穿刺点的几何关系导出，<math>R_\text{E} </math> 为地球平均半径，<math>H_\text{ion} </math> 为薄层高度<ref name=":3" />。

在单层电离层模型中，受电离层平衡状态及电离层水平梯度的影响，投影函数引入的测距误差可达10 m，当卫星处于低高度角时还可再放大2－3倍<ref>A. Komjathy, L. Sparks, A.J. Mannucci, A. Coster: [https://www.ion.org/publications/abstract.cfm?articleID=5808 The ionospheric impact of the October 2003 storm event on WAAS] {{Wayback|url=https://www.ion.org/publications/abstract.cfm?articleID=5808 |date=20201207122620 }}, Proc. ION GNSS 2004, Long Beach (ION, Virginia 2004), pp. 1298–1307{{Language icon|en}}.</ref>。

== 组合观测模型 ==
由于电离层具有[[色散 (光學)|色散]]特性，其产生的电离层延迟大小与电磁波频率相关<ref>{{Cite journal|title=On the effect of ionospheric delay on geodetic relative GPS positioning|author=|url=https://www.researchgate.net/profile/Py_yola_Georgiadou/publication/279586359_On_the_Effect_of_Ionospheric_Delay_on_Geodetic_Relative_GPS_Positioning/links/57d148e008ae601b39a1c2a6/On-the-Effect-of-Ionospheric-Delay-on-Geodetic-Relative-GPS-Positioning.pdf|last=Georgiadou|first=Yola|last2=Kleusberg|first2=Alfred|journal=Manuscripta Geodaetica|issue=|doi=|others=|year=1988|volume=13|page=1-8|pmid=|access-date=2020-12-01|archive-date=2020-12-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20201220123331/https://www.researchgate.net/profile/Py_yola_Georgiadou/publication/279586359_On_the_Effect_of_Ionospheric_Delay_on_Geodetic_Relative_GPS_Positioning/links/57d148e008ae601b39a1c2a6/On-the-Effect-of-Ionospheric-Delay-on-Geodetic-Relative-GPS-Positioning.pdf}}</ref>。当用户能够获取多个频段上的伪距和载波观测值时，可以利用各阶电离层延迟与频率之间的数学特性，组成电离层延迟组合、电离层残差组合、无电离层组合、码相组合等具有特殊性质的组合观测模型，用以探测电离层TEC或是消除低阶电离层延迟的影响。

=== 电离层延迟组合观测 ===
根据电离层一阶项的特性，双频电离层延迟伪距组合观测值 <math>p^\text{s}_\text{r,IC}</math> 与双频电离层延迟载波组合观测值 <math>\varphi^\text{s}_\text{r,IC}</math> 的形式分别为<ref name=":3" /><ref>{{Cite journal|title=An Automatic Editing Algorithm for GPS data|url=http://doi.wiley.com/10.1029/GL017i003p00199|last=Blewitt|first=Geoffrey|date=1990-03|journal=Geophysical Research Letters|issue=3|doi=10.1029/GL017i003p00199|volume=17|pages=199–202|language=en}}</ref>
:<math>\begin{array}{ll}
p^\text{s}_\text{r,IC}
    &= -\frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2}\left(p^\text{s}_\text{r,A}-p^\text{s}_\text{r,B}\right)
    \\
    &= I^\text{s}_\text{r,A}
        + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} B^\text{s}_\text{r,AB}
        - \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left[\zeta^\text{s}_\text{r,A}(t)-\zeta^\text{s}_\text{r,B}(t)\right]
        - \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left[e^\text{s}_\text{r,A}(t)-e^\text{s}_\text{r,B}(t)\right]
    \\
\end{array}</math><math>\begin{array}{ll}
\varphi^\text{s}_\text{r,IC}
    &= \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2}\left(\varphi^\text{s}_\text{r,A}-\varphi^\text{s}_\text{r,B}\right)
    \\
    &= I^\text{s}_\text{r,A}
        + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} b^\text{s}_\text{r,AB}
        + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left(\lambda_\text{A}N^\text{s}_\text{r,A}-\lambda_\text{B}N^\text{s}_\text{r,B}\right)
        + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left[\zeta^\text{s}_\text{r,A}(t)-\zeta^\text{s}_\text{r,B}(t)\right]
        + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left(\lambda_\text{A}-\lambda_\text{B}\right)\omega^\text{s}_\text{r}(t)
        + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left[\epsilon^\text{s}_\text{r,A}(t)-\epsilon^\text{s}_\text{r,B}(t)\right]
    \\
\end{array}</math>
式中，<math>f_\text{A}</math>、<math>f_\text{B}</math> 是导航信号A与导航信号B的载波频率，<math>\lambda_\text{A}</math>、<math>\lambda_\text{B}</math> 为相应的载波波长；上标 <math>\text{s}</math> 标示卫星序号、下标 <math>\text{r}</math> 标示接收机序号、变量 <math>t</math> 标示历元序号，被上述序号标示的项会随相应序号的变化而有所区别；<math>p^\text{s}_\text{r,A}</math>、<math>p^\text{s}_\text{r,B}</math>是两个导航信号上的伪距原始观测值；<math>\varphi^\text{s}_\text{r,A}</math>、<math>\varphi^\text{s}_\text{r,B}</math>是两个导航信号上的载波相位原始观测值，<math>N^\text{s}_\text{r,A}</math>、<math>N^\text{s}_\text{r,B}</math> 为相应相位观测值的[[整周模糊度]]；<math>I^\text{s}_\text{r,A}</math> 则为附加在导航信号A上的一阶电离层延迟；其他各项为附加在观测值上的其他误差：

* <math>B^\text{s}_\text{r,AB}</math> 为导航信号A与导航信号B的[[差分码偏差]]，<math>b^\text{s}_\text{r,AB}</math> 为导航信号A与导航信号B的差分相位偏差；
* <math>\zeta^\text{s}_\text{r,A}(t)</math>、<math>\zeta^\text{s}_\text{r,B}(t)</math> 分别为导航信号A与导航信号B的天线相位中心偏差；
* <math>\omega^\text{s}_\text{r}(t)</math> 为天线相位缠绕在载波相位测量中引入的系统误差；
* <math>e^\text{s}_\text{r,A}(t)</math>、<math>e^\text{s}_\text{r,B}(t)</math> 为包含了[[多重路徑傳輸|多路径效应]]的伪距测量噪声， <math>\epsilon^\text{s}_\text{r,A}(t)</math>、<math>\epsilon^\text{s}_\text{r,B}(t)</math> 为包含了多路径效应的载波相位测量噪声。

由于 <math>p^\text{s}_\text{r,IC}</math>与 <math>\varphi^\text{s}_\text{r,IC}</math> 中消除了与卫星和接收机间的几何距离相关的项，因此此类电离层延迟组合也被称作无几何组合（{{Lang-en|Geometry-free combination}}）。电离层延迟组合观测量主要反映一阶电离层延迟与硬件偏差的综合影响<ref>Warnant, R. [https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/84667/1/bss97-reliability.pdf Reliability of the TEC Computed Using GPS Measurements — The Problem of Hardware Biases] {{Wayback|url=https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/84667/1/bss97-reliability.pdf |date=20200725180002 }}. ''Acta Geod. Geoph. Hung'' 32, 451–459 (1997). <nowiki>https://doi.org/10.1007/BF03325514</nowiki></ref>，并保持了较小的测量噪声，常用于探测[[整周跳变|周跳]]、反演TEC以及监测电离层状态等<ref name=":5" /><ref>{{Cite journal|title=Analysis of geometry-free residuals in case of traveling ionosphere disturbances and their impact cycle slip detection|url=https://doi.org/10.1007/s10291-017-0606-9|last=Tang|first=Long|last2=Zheng|first2=Kai|date=2017-07-01|journal=GPS Solutions|issue=3|doi=10.1007/s10291-017-0606-9|volume=21|pages=1221–1226|language=en|issn=1521-1886|last3=Li|first3=Xingxing}}</ref>。

== 参见 ==
* [[对流层延迟]]
*[[用户等效测距误差]]

== 参考文献 ==
{{Reflist|3}}

[[Category:全球定位系统]]