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[[File:CP-PLL.pdf|thumb|right|500px|電荷泵鎖相迴路]]

'''電荷泵鎖相迴路'''（Charge-pump phase-locked loop）簡稱'''CP-PLL'''，是一種[[鉴相器]]適用於[[方波]]輸入信號的[[鎖相迴路]]<ref>{{cite patent |country= USA|number=US3714463A |status= |title=Digital frequency and/or phase detector charge pump |pubdate=1973-01-30 |gdate= |fdate= |pridate=1971-01-04 |inventor=Jon M. Laune |invent1= |invent2= |assign1= |assign2= |class= |url=https://patents.google.com/patent/US3714463A}}</ref>。CP-PLL可以快速的鎖定到輸入信號的相位，可以達到很低的穩態相位誤差<ref name=Gardner-1980>{{cite journal |author = F. Gardner 
|title = Charge-pump phase-lock loops | journal = IEEE Transactions on Communications | volume = 28 |issue=11 | pages = 1849–1858| year = 1980|doi=10.1109/TCOM.1980.1094619
|bibcode=1980ITCom..28.1849G
}}</ref>。
==鉴相器（PFD）==
[[File:Phase-frequency-detector.pdf|thumb|right|500px|鉴相器動態]]

鉴相器（PFD）是由參考信號（Ref）以及受控輸出（VCO）信號的下緣所觸發。PFD <math>i(t)</math>的輸出信號只有三個狀態：0, <math>+I_p</math>,和<math>-I_p</math>。
參考信號的下緣會使PFD切換到較高的狀態，若PFD已經在<math>+I_p</math>就不會變動。
VCO信號的下緣會使PFD切換到較低的狀態，若PFD已經在<math>-I_p</math>就不會變動。
若二個信號的下緣同時出現，PFD會切換到0。
==CP-PLL的數學模型==
第一個二階CP-PLL的數學模型是由{{le|佛洛依德·加德納|Floyd M. Gardner}}在1980年提出的<ref name=Gardner-1980/>。M. van Paemel在1994年提出了不考慮VCO過載（overload）的非線性模型<ref name=Paemel-1984>{{cite journal |author = M. van Paemel 
|title = Analysis of a charge-pump pll: A new model 
| journal = IEEE Transactions on Communications | volume = 42 |issue=7 | pages = 2490–2498| year = 1994|doi = 10.1109/26.297861 
}}</ref>，N. Kuznetsov等人在2019年優化該模型<ref name= Kuznetsov-2019-JDECP>{{cite journal | author = N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, and T. Mokaev | title = Comments on van Paemel's mathematical model of charge-pump phase-locked loop | journal = Differential Equations and Control Processes | volume = 1 | pages = 109–120 | url = https://diffjournal.spbu.ru/pdf/19107-jdecp-kuznetsov.pdf | year = 2019 | access-date = 2021-06-16 | archive-date = 2022-01-20 | archive-url = https://web.archive.org/web/20220120152441/https://diffjournal.spbu.ru/pdf/19107-jdecp-kuznetsov.pdf }}</ref>。也有學者在推導考慮VCO過載的CP-PLL解析解數學模型<ref name=KuznetsovYYBKKM-2020>{{cite journal |author = N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, T. Mokaev |title = Charge pump phase-locked loop with phase-frequency detector: closed form mathematical model| issue=1468 | year = 2020 |volume = 1901|arxiv = 1901.01468}}</ref>。

CP-PLL的數學模型可以針對一些參數進行解析的預估，例如hold-in範圍（在VCO沒有過載的情形下，可能進行鎖相的輸入信號頻率範圍），及捕獲範圍（pull-in range，在CP-PLL任意初始狀態下，CP-PLL最終可以鎖相的輸入信號頻率範圍）<ref name=KuznetsovMYY-2020/>。

===二階CP-PLL的連續時間線性模型以及加德納的猜想===
加德納的分析是以以下的近似為基礎<ref name=Gardner-1980/>：每個參考信號的周期內，PFD非零的時間區間為
:<math>t_p = |\theta_e|/\omega_{\rm ref},\ \theta_e = \theta_{\rm ref} - \theta_{\rm vco}.</math>
CP-PLL的PDF平均輸出為 
:<math>i_d = I_p \theta_e/2\pi</math>
對應的傳遞函數為
:<math>I_d(s) = I_p\theta_e(s)/2\pi</math>
若用濾波器傳遞函數<math>F(s) = R + \frac{1}{Cs}</math>以及VCO傳遞函數<math>\theta_{\rm vco}(s) = K_{\rm vco}I_d(s)F(s)/s</math>，可以得到加德納的二階CP-PLL線性近似平均模型:

<math>
\frac{\theta_e(s)}{\theta_{\rm ref}(s)} = \frac{2\pi s}{2\pi s + K_{\rm vco}I_p\left(R + \frac{1}{Cs}\right)}.
</math>

{{le|佛洛依德·加德納|Floyd M. Gardner}}在1980年以上述的理解，提出了猜想：「實際電荷泵鎖相迴路的暫態響應，預期會和等效傳統PLL的暫態響應幾乎相同。」<ref name=Gardner-1980/>{{rp|1856}}（加德納對CP-PLL的猜想）。
依照加德納的結果，也類似Egan在type 2 APLL捕獲範圍的猜想，Amr M. Fahim在其書中猜想<ref name=2005-Fahim>{{cite book | first= Amr M. | last=Fahim | year = 2005| title = Clock Generators for SOC Processors: Circuits and Architecture | publisher = Kluwer Academic Publishers| location = Boston-Dordrecht-London }}</ref>{{rp|6}}：為了要達到無限大的捕獲範圍，CP-PLL的迴路濾波器需要使用主動濾波器（Fahim-Egan在type II CP-PLL捕獲範圍的猜想）。
===二階CP-PLL的連續時間非線性模型===
為了簡化推導，但不失去通用性，假設VCO和參考信號在其相位為整數時為其下降緣。
令參考信號第一個下降緣的時間為<math>t = 0</math>。 
PFD狀態<math>i(0)</math>會依PFD的初始狀態<math>i(0-)</math>，VCO的初始相位移<math>\theta_{vco}(0)</math>，以及參考信號<math>\theta_{ref}(0)</math>的值而不同。

若利用電阻和電容製作純PI（比例積分）的濾波器，其輸入電流<math>i(t)</math>和輸出電壓<math>v_F(t)</math>的關係為
:<math>
  \begin{align}
    v_F(t) = v_c(0) + Ri(t) + \frac{1}{C}\int\limits_0^t i(\tau)d\tau
  \end{align}
</math>
其中<math>R>0</math>是電阻，<math>C>0</math>是電感。
<math>v_c(t)</math>是電容器的電壓。
控制信號<math>v_F(t)</math>會調整VCO頻率：
:<math> 
   \begin{align}      
        \dot\theta_{vco}(t) =
         \omega_{vco}(t) =
         \omega_{vco}^{\text{free}} + K_{vco}v_F(t),
   \end{align}
</math>
其中<math>\omega_{vco}^{\text{free}}</math>是VCO的自由運行頻率
（也就是<math>v_F(t)\equiv 0</math>)，<math>K_{vco}</math>是VCO增益（靈敏度）、<math>\theta_{vco}(t)</math>是VCO相位。
最後，CP-PLL連續時間非線性數學模型如下
:<math>
\begin{align}
  \dot v_c(t) = \tfrac{1}{C}i(t), \quad
  \dot\theta_{vco}(t)  =
        \omega_{vco}^{\text{free}} + K_{vco}
        (
          Ri(t)
          + v_c(t)
        )
\end{align}
</math>
其中有以下的不連續分段常數非線性
:<math>
  i(t) = i\big(i(t-), \theta_{ref}(t), \theta_{vco}(t)\big)
</math>
初始條件為<math>\big(v_c(0), \theta_{vco}(0)\big)</math>.
此模型是非線性、非自主式、不連續的開關系統。
===二階CP-PLL的離散時間非線性模型===
[[File:PDF time intervals.jpg|thumb|500px|在時間區間內的PFD動態]]

假設參考信號頻率為常數:
<math>
\theta_{ref}(t) = \omega_{ref}t = \frac{t}{T_{ref}},
</math>
其中<math>T_{ref}</math>、<math>\omega_{ref}</math>和<math>\theta_{ref}(t)</math>是參考資料的週期、頻率和相位。

令<math>t_0 = 0</math>，
這表示<math>t_0^{\rm middle}</math>是第一個PFD輸出為0的時間
（若<math>i(0)=0</math>，則<math>t_0^{\rm middle}=0</math>）
且<math>t_1</math>是VCO或參考信號的第一個下降緣。
其且，可以定義對應的遞減數列<math>\{t_k\}</math>、<math>\{t_k^{\rm middle}\}</math>，其中<math>k=0,1,2...</math>。

令<math>t_k < t_k^{\rm middle}</math>.
則在<math>t \in [t_k,t_k^{\rm middle})</math>時，<math>\text{sign}(i(t))</math>是非零的常數（<math>\pm1</math>）。
令<math>\tau_k</math>為PFD脈波寬度（PFD輸出為非零長度的時間區間）乘以PFD輸出的正負號： 
:<math> \tau_k = (t_k^{\rm middle} - t_k)\text{sign}(i(t)) </math> for <math> t \in [t_k,t_k^{\rm middle}) </math>
:<math> \tau_k = 0 </math> for <math> t_k=t_k^{\rm middle} </math>

若VCO的下降緣在參考信號的下降緣之前，則<math>\tau_k < 0</math>，反之，可得<math>\tau_k > 0</math>。<math>\tau_k</math>可以看出二個信號下降緣的先後順序。在<math>(t_k^{\rm middle},t_{k+1})</math>區間內，PFD輸出為零，PFD <math>i(t) \equiv 0</math>：
:<math> v_F(t) \equiv v_k </math> for <math> t \in [t_k^{\rm middle},t_{k+1}) </math>.
將<math>(\tau_k,v_k)</math>變成下式的變數變換<ref>{{cite journal |author = P. Curran, C. Bi, and O. Feely |title = Dynamics of charge-pump phase-locked loops| journal = International Journal of Circuit Theory and Applications | volume = 41 |issue=11 | pages = 1109–1135| year = 2013|doi = 10.1002/cta.1814}}</ref> 
<math>
    p_k = \frac{\tau_k}{T_{\rm ref}}, 
    u_k=T_{\rm ref}
      (
        \omega_{\rm vco}^{\text{free}} + K_{\rm vco}v_k
      ) - 1,
</math>
可以讓參數減至二個：
<math>
    \alpha = K_{\rm vco}I_pT_{\rm ref}R,
     \beta = \frac{K_{\rm vco}I_pT_{\rm ref}^2}{2C}.
</math>

此處<math>p_k</math>是正規化的相位偏移，<math>u_k+1</math>是VCO頻率 <math>\omega_{\rm vco}^{\text{free}} + K_{\rm vco}v_k</math>相對於參考頻率<math>\frac{1}{T_{\rm ref}}</math>的比例。

最後，不考慮VCO過載的二階CP-PLL離散時間模型如下<ref name=Kuznetsov-2019-JDECP/><ref name=KuznetsovMYY-2020>{{cite journal |author = N.V. Kuznetsov, A.S. Matveev, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev 
|title = Nonlinear analysis of charge-pump phase-locked loop: the hold-in and pull-in ranges 
| journal = IFAC World Congress |year = 2020 |arxiv = 2005.00864 
}}</ref>
:<math>
  \begin{align}
    & u_{k+1} =   u_k +2\beta p_{k+1},\\
    & p_{k+1} =
    \begin{cases}
      \frac{-(u_k + \alpha + 1) + \sqrt{(u_k + \alpha + 1)^2 - 4\beta c_k}}{2\beta},
      \quad \text{ for }  p_k \geq 0, \quad c_k \leq 0,
      \\
      \frac{1}{ u_k + 1} -1 + ( p_k \text{ mod }1),
      \quad \text{ for }  p_k \geq 0, \quad c_k > 0,
      \\
      l_k-1,
      \quad \text{ for } p_k < 0, \quad l_k \leq 1,
      \\
      \frac{-(u_k + \alpha + 1) + \sqrt{(u_k + \alpha + 1)^2 - 4\beta d_k}}{2\beta},
      \quad \text{ for } p_k < 0, \quad l_k > 1,
    \end{cases}
  \end{align}
</math>
其中
:<math>
\begin{align}
      c_k = (1 - ( p_k \text{ mod }1))( u_k +1) - 1, 
    S_{l_k} = -( u_k - \alpha + 1 ) p_k + \beta p_k^2,  
    l_k = \frac{1 - (S_{l_k} \text{ mod }1)}{ u_k + 1},
    d_k = (S_{l_k} \text{ mod }1) +  u_k.
\end{align}
</math>

此離散時間模型只在<math>(u_k=0,p_k=0)</math>有一個穩態，可以估計hold-in範圍和捕獲範圍<ref name=KuznetsovMYY-2020/>。

若VCO過載，也就是<math> \dot\theta_{\rm vco}(t)</math>為零， 
或者是以下的式子  
<math> (p_k>0, u_k<2\beta p_k-1)</math>或
<math>(p_k<0, u_k<\alpha-1)</math>, 
則需要考慮額外的CP-PLL動態特性<ref name=KuznetsovYYBKKM-2020/>。
針對任何參數，只要VCO和參考信號的頻率差夠大，就會使VCO過載。
在實務上，需避免VCO的過載。
===高階CP-PLL的非線性模型===
高階CP-PLL非線性模型推導和超越方程有關，無法求得解析解，需要用近似的方式計算<ref>{{cite journal |author = C. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc, and G. Benbassat |title = Modeling and characterization of the 3rd order charge-pump PLL: a fully event-driven approach| journal = Analog Integrated Circuits and Signal Processing | issue= 1| year = 1999 |volume = 19| pages = 25–45|doi = 10.1023/A:1008326315191|s2cid = 58204942}}</ref>

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

[[Category:电路]]