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{{NoteTA|G1=物理學}}
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在[[電磁學]]裏，'''電荷密度'''是一種[[度量]]，用以描述空間中連續[[電荷]]的分布狀況。依据討論電磁模型的維度而定，電荷密度可以是'''線電荷密度'''、'''面電荷密度'''或'''體電荷密度'''。

假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子，則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度，單位為[[庫侖]]／[[公尺]] (coulomb/meter) 。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面，則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度，單位為庫侖／公尺<sup>2</sup>。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部，則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度，單位為庫侖／公尺<sup>3</sup>。

由於在大自然裏，有兩種電荷，[[正電荷]]和[[負電荷]]，所以，電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意，不要將電荷密度與[[電荷載子密度]] ({{lang|en|charge carrier density}}) 搞混了。

電荷密度與[[電荷載子]]的體積有關。例如，由於[[鋰]][[陽離子]]的半徑比較小，它的體電荷密度大於[[鈉]]陽離子的體電荷密度。

== 古典電荷密度 ==
假設，一個體積為 <math>V</math> 的[[載電體]]，其電荷密度 <math>\rho_0</math> 是均勻的，跟位置無關，那麼，總電荷量 <math>Q</math> 為
:<math>Q=\rho_0 V</math>。

假設，在某一區域內有 <math>N</math> 個離散的[[點電荷]]，像[[電子]]。那麼，電荷密度可以用[[狄拉克δ函數]]來表達為
:<math>\rho(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^N\ q_i\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)</math> ；

其中， <math>\mathbf{r}</math> 是檢驗位置，<math>q_i</math> 是位置為 <math>\mathbf{r}_i</math> 的第 <math>i</math> 個點電荷的[[電量]]。

== 量子電荷密度 ==
[[File:HAtomOrbitals.png|thumb|350px|[[氫原子]]的電子機率密度繪圖。橫排顯示不同的[[角量子數]] (l) ,豎排顯示不同的[[能級]] (n) 。這也是氫原子的負電荷密度圖。氫原子的[[質子]]的中心有一個正電性的[[質子]]。]]
在[[量子力學]]裏，[[類氫原子]]的中心有一個正電性的[[原子核]]，環繞著原子核四週的一個電子的軌域，其電荷密度可以用[[波函數]] <math>\psi(\mathbf{r})</math> 表達為<ref>{{Citation
  | last =Cao 
  | first =Tian Yu 
  | title =Conceptual developments of 20th century field theories 
  | publisher =Cambridge University Press 
  | year =1998
  | edition =reprint, illustrated 
  | pages =pp. 146-147
  | isbn =9780521634205 
}}</ref>

:<math>\rho(\mathbf{r}) = q\cdot|\psi(\mathbf{r})|^2 </math> ；

其中，<math>q</math> 是電子的電荷量。

注意到 <math>|\psi(\mathbf{r})|^2</math> 是找到電子的[[機率]]。經過[[歸一化]]，在全部空間找到電子的機率是
:<math>\int_{all\ space} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3{r}=1</math> ；

例如，[[氫原子]]的波函數 <math>\psi_{nlm}(\mathbf{r})</math> 是
:<math>\psi_{nlm}(\mathbf{r})=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\,\phi)</math> ；

其中，<math>R_{nl}</math> 是徑向函數，<math>Y_l^m(\theta,\,\phi)</math> 是[[球諧函數]]，<math>n</math> 是[[主量子數]]，<math>l</math> 是[[角量子數]]，<math>m</math> 是[[磁量子數]]。

==相對論性電荷密度==
從[[相對論]]的角度來論述，[[導線]]的長度與觀察者的移動速度有關，所以電荷密度是一種相對論性觀念。[[安東尼·法蘭碁]]（{{lang|en|Anthony French}}）在他的著作中表明<ref>A. French (1968) ''Special Relativity'', chapter 8 Relativity and electricity, pp 229–65, W. W. Norton.</ref>，移動中的電荷密度會產生磁場力，會吸引或排斥其它[[載流導線]]。。使用[[閔可夫斯基圖]]，法蘭碁闡明，一條中性的載流導線，對於處於移動參考系的觀察者而言，為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過[[時空]]坐標，研究[[電磁現象]]的領域稱為[[相對論性電磁學]]（{{lang|en|relativistic electromagnetism}}）。

== 電荷守恆的連續方程式 ==
電荷密度與[[電流密度]]之間的關係式為：
:<math>\frac{\partial \rho(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r},\,t) =0</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}</math> 是位置，<math>t</math> 是時間，<math>\mathbf{J}</math> 是電流密度。

在[[電磁理論]]裏，從[[馬克士威方程組]]，可以推導出電荷守恆的[[連續方程式]]。根據加入[[位移電流]]項目後的[[安培定律]]<ref name=Jackson1999/>，
:<math>\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> ；

其中，<math>\mathbf{B}</math> 是磁場，<math>\mathbf{E}</math> 是電場，<math>\mu_0</math> 是[[磁常數]]，<math>\epsilon_0</math> 是[[電常數]]。

取[[散度]]於方程式的兩邊：
:<math>\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =\mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})</math> 。

由於[[旋度]]的散度等於零，再根據[[高斯定律]]，可以得到想要的關係式
:<math>0=\nabla\cdot\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})=\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}</math> 。

換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積 <math>\mathbb{V}</math> 的淨電流為<!--link charge conservation-->
:<math>I=-\oint_\mathbb{S} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}^2\mathbf{r}</math> ； 

其中，<math>I</math> 是電流，<math>\mathbb{S}</math> 是包圍體積 <math>\mathbb{V}</math> 的閉曲面，<math>\mathrm{d}\mathbf{r}^2</math> 是微小面向量元素，垂直於 <math>\mathbb{S}</math> 從體積內朝外指出。

應用[[散度定理]]，將這方程式寫為
:<math>I=-\int_\mathbb{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\  \mathrm{d}^3r</math> 。

總電荷量 <math>Q</math> 與體積 <math>\mathbb{V}</math> 內的電荷密度 <math>\rho</math> 的關係為
:<math>Q=\int_\mathbb{V} \rho\  \mathrm{d}^3r</math> 。

電荷守恆要求，流入體積 <math>\mathbb{V}</math> 的淨電流，等於體積 <math>\mathbb{V}</math> 內總電荷量 <math>Q</math> 的變率：
:<math>\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d} t}=I=\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\  \mathrm{d}^3r</math> 。

所以，
:<math>\int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r=0</math> 。

對於任意體積 <math>\mathbb{V}</math> ，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來：<ref name=Griffiths1998>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 213|isbn=0-13-805326-X}}</ref>
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0</math> 。

== 電勢和電場 ==
在一個體積區域 <math>\mathbb{V}'</math> 內，源位置 <math>\mathbf{r}'</math> 的電荷密度為 <math>\rho(\mathbf{r}')</math> 的電荷分佈，所產生在場位置 <math>\mathbf{r}\!</math> 的[[電勢]]為<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 29-31, 237-239|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>
:<math>\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3{r}'</math> ；

其中，<math>\mathrm{d}^3{r}'</math> 是微小體積元素。

[[電場]] <math>\mathbf{E}</math> 是電勢的負[[梯度]]：
:<math>\mathbf{E}(\mathbf{r})= - \boldsymbol{\nabla} \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'</math> 。

應用向量關係式
:<math>\boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}=4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')</math> ，

取散度於電場，
:<math>\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})= - \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \mathrm{d}^3{r}'</math> ，

可以得到[[高斯定律]]的微分形式
:<math>\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}</math> ，

和[[帕松方程式]]
:<math>\nabla^2  \phi(\mathbf{r}) = - \frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}</math> 。

== 參閱 ==
* [[拉普拉斯方程式]]
* [[恩绍定理]]
* [[格林互反定理]] ({{lang|en|Green's reciprocity theorem}})

==參考文獻==
{{reflist|2}}

{{Authority control}}
[[Category:電荷]]
[[Category:密度]]
[[Category:基本物理概念|D]]
[[Category:靜電學|D]]

[[es:Carga eléctrica#Densidad de carga eléctrica]]