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{{noteTA
|G1=物理學
}}
'''電磁張量'''（{{lang-en|electromagnetic tensor}}）或'''電磁場張量'''（{{lang-en|electromagnetic field tensor}}）（有時也稱作'''場強度張量'''（field strength tensor）、'''法拉第張量'''（Faraday tensor）或'''馬克士威雙向量'''（Maxwell bivector））是一個描述一物理系統中[[電磁場]]的數學客體，所根據的是[[詹姆斯·克拉克·麦克斯韦|馬克士威]]的[[電磁學]]理論。場張量是在[[赫爾曼·閔可夫斯基]]提出[[狹義相對論]]的四維[[張量]]形式之後被首次使用。

== 細節 ==
 '''數學註記：本文會使用到抽象的指標記號。'''

電磁張量<math>F_{\alpha\beta}</math>常表示成如下矩陣形式：

::<math>F_{\alpha\beta} = \begin{bmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}
</math> 

:其中 
::'''''E'''''是[[電場]]，
::'''''B'''''是[[磁場]]，
::'''''c'''''是[[光速]]。

===性質===
從場張量的矩陣形式可以見到，其會滿足下列特性：

* [[反對稱性]]：<math>F^{\alpha\beta} \, = - F^{\beta\alpha}</math>（因此稱作[[雙向量|雙向量（或稱雙矢、二重向量，bivector）]]）。
* 零值的[[跡數]]或稱[[對角和]]。
* [[三角形矩陣|6個]]獨立分量——<math>E_x/c</math>、<math>E_y/c</math>、<math>E_z/c</math>、<math>B_x</math>、<math>B_y</math>、<math>B_z</math>。

若將場張量做[[內積]]，則可得到一[[勞侖茲不變量]]：
::<math>F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) = \mathrm{invariant} </math>
場張量<math>F^{\alpha\beta} \,</math>與對偶張量的乘積則為一[[偽純量]]不變量（pseudoscalar invariant）：
::<math> \frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = - \frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right) = \mathrm{invariant} \,</math>
其中<math>\ \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \,</math>為四階完全反對稱單位張量（completely antisymmetric unit tensor）或稱[[列維-奇維塔符號]]（Levi-Civita symbol）。注意到場張量的行列式
::<math> \det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \vec B \cdot \vec E \right) ^{2} </math>

更正式地，可將電磁張量以[[电磁四维势|4-向量勢]]<math>A^{\alpha} \,</math>寫成：
::<math>
F_{ \alpha\beta } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{ \partial A_{\beta} }{ \partial x^{\alpha} } - \frac{ \partial A_{\alpha} }{ \partial x^{\beta} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 
\partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha}</math>
其中4-向量勢為：
::<math>A^{\alpha} = \left( \frac{\phi}{c} , \vec A \right)</math>，其[[協變]]（covariant）形式可以透過乘上[[閔可夫斯基度規]]<math>\eta \,</math>來得到：
::<math>A_{\alpha} \, = \eta_{\alpha\beta} A^{\beta} = \left( \frac{\phi}{c}, -\vec A \right) </math>
此處閔可夫斯基度規<math>\eta \,</math>的定義為：
::<math>\eta = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}</math>
若按照另種使用習慣將閔可夫斯基度規定義為：
::<math>\eta = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
則4-向量勢的協變形式會是：
::<math>A_{\alpha} \, = \eta_{\alpha\beta} A^{\beta} = \left( -\frac{\phi}{c}, \vec A \right) </math>

== 導出電磁張量 ==
為了要導出電磁張量的所有矩陣元素，我們需要定義（[[時空]]）導數算符（derivative operator）：
::<math>\partial_{\alpha} = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \vec{\nabla} \right) \,</math>
以及[[電磁四維向量勢|4-向量勢]]：
::<math>A_{\alpha} = \left(\frac{\phi}{c}, -A_x, -A_y, -A_z \right) \,</math>
其中
::<math>\vec A \,</math>為[[向量勢]]，而<math>\left(A_x, A_y, A_z \right)</math>為其分量，
::<math>\phi \,</math>為[[純量勢]]，
::<math>c \,</math>為[[光速]]；
::指標α取值0、1、2、3。

電場與磁場可以透過下面兩個與向量勢及純量勢的關係式導出：
::<math>\vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla} \phi \,</math>
::<math>\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} \,</math>

以''x''分量為例：
::<math>E_x = -\frac{\partial A_x}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial x} 
= c ( {1\over c} \frac{\partial}{\partial t}(-A_x) - \frac{\partial}{\partial x}({\phi\over c}) ) \,</math>
::<math>B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \,</math>

利用這樣的定義，我們可以將上面兩個式子改寫成：
::<math>E_x = c \left(\partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \right) \,</math>，或將''c''移動到等號左邊：<math>\frac{E_x}{c} = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \,</math>
::<math>B_x = \partial_2 A_3 - \partial_3 A_2 \,</math>

在評估過所有分量後，可以得到一個[[二階張量|二階]]、[[反對稱]]、[[協變]]張量<math>F_{\alpha\beta}</math>：
::<math>F_{\alpha\beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \,</math>

== 與古典電磁學的關聯 ==
古典電磁學以及[[馬克士威方程組]]可以從如下定義的作用量推導得出：
::<math>\mathcal{S} = \int \left( -\begin{matrix} \frac{1}{4 \mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \right) \mathrm{d}^4 x \,</math>
其中
::<math>\mathrm{d}^4 x \;</math>是對時間及空間的積分。

這表示[[拉格朗日量]]是為
::{|
|<math>\mathcal{L} \,</math>
|<math> = -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \,</math>
|-
|
|<math> = -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right) \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) \,</math>
|-
|
|<math> = -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu + \partial_\nu A_\mu \partial^\nu A^\mu \right) \,</math>
|}
最後一段等號右邊四個項，最左項與最右項相等，因為<math>\mu</math>與<math>\nu</math>僅為[[傀指標]]；中間兩項也彼此相等。因此拉格朗日量變為
::{|
|<math>\mathcal{L} \,</math>
|<math> = -\begin{matrix} \frac{1}{2\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu \right) \,</math>
|}

我們將之代入場的[[歐拉-拉格朗日方程]]：
::<math> \partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0 \,</math>。

第二項為零，因為此情況下的拉格朗日量只含有導數項。因此歐拉-拉格朗日方程變為：
::<math> \partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) = 0 \,</math>。

圓括號內的項正是場張量，因此最終可以簡化為
::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math> \partial_\nu F^{\mu \nu} = 0 \,</math>。
|}

此方程式僅是寫下兩個齊次馬克士威方程式的另一條途徑，只要做以下代入：
::<math>~E^i /c \ \ = -F^{0 i} \,</math>
::<math>\epsilon^{ijk} B^k = -F^{ij} \,</math>
其中指標<math>i \,</math>與<math>j \,</math>取值1、2、3。

== 場張量的重要性 ==
潛藏在看似複雜的張量數學方程式外表下的，是對電磁學[[馬克士威方程組]]所做的巧妙統合。考慮靜電方程式（electrostatic equation）
::<math>\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>

告訴了我們電場向量的散度等於[[電荷密度]]除以[[電容率]]<math>\epsilon_0</math>，而動電方程式（electrodynamic equation）
::<math>
\vec{\nabla} \times \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \vec{E}}{\partial t} = \mu_0 \vec{J}
</math>
也就是磁場向量的[[旋度]]減掉電場隨著時間變動（取時間微分），等於電流密度乘以[[磁導率]]<math>\mu_0</math>。

這兩個關於電學的方程式可以約化成
::<math>\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^{\beta} \,</math>
其中
::<math>J^{\alpha} = ( c \, \rho , \vec{J} ) \,</math>為[[四維電流密度]]。

同樣的情況也適用在磁學上。若我們考慮靜磁方程式（magnetostatic equation）
::<math>
\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0
</math>

告訴了我們沒有「真實」存在的磁荷（[[磁單極]]），而動磁方程式（magnetodynamics equation）
::<math>
\frac{ \partial \vec{B}}{ \partial t } + \vec{\nabla} \times \vec{E} = 0
</math>
告訴了我們磁場隨著時間變動（取時間微分）加上電場的[[旋度]]等於零（或是另種講法：電場的旋度等於負的磁場隨著時間變）。若用電磁張量，磁學的方程式可以約化成
::<math>F_{ \alpha \beta , \gamma } + F_{ \beta \gamma , \alpha } + F_{ \gamma \alpha , \beta } = 0 \,</math>，或者利用[[反對稱化]]符號——方括號[]表示成
::<math>F_{ [\alpha \beta , \gamma] } = 0 \,</math>。

== 場張量與相對論 ==
場張量其得名理由是因為電磁場須遵守張量轉換定律；（非[[重力場]]）物理定律具有這樣的普適性質，在[[狹義相對論]]誕生之後就被普遍認識到。相對論要求所有（非重力場的）物理定律在所有座標系統中都應具有相同形式，這導致[[張量]]的引入。張量形式也使得物理定律能有優美的數學表示方式。舉例來說，電磁學的[[馬克士威方程組]]可以用場張量寫成：
::<math>F_{[\alpha\beta,\gamma]} \, = 0</math>
::<math>F^{\alpha\beta}{}_{,\beta} \, = \mu_0 J^{\alpha}</math>

其中逗號'''，'''表示對其做[[偏微分]]。第二個方程式暗示了[[連續性方程式|電荷與電流元的守恆]]：
::<math>J^\alpha{}_{,\alpha} \, = 0</math>

在[[廣義相對論]]的[[彎曲時空]]中，這些定律可用（許多物理學家覺得）吸引人的方式來推廣——就是將偏微分改成[[協變微分]]：
::<math>F_{[\alpha\beta;\gamma]} \, = 0</math>
::<math>F^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = \mu_0 J^{\alpha}</math>

其中分號''';'''代表了[[協變微分]]，跟上面在[[平直時空]]所用的偏微分相互輝映。方程式的優美不受改變，僅僅需要將偏微分換成協變微分，這在廣義相對論常見的說法。這樣的方程式常被稱作是「彎曲時空下的馬克斯韋方程組」。一樣地，第二個方程式暗示著電荷與電流元的守恆（於彎曲時空中）：
::<math>J^\alpha{}_{;\alpha} \, = 0</math>

== 在量子電動力學與量子場論中的角色 ==
在[[量子電動力學]]中的[[拉格朗日量]]是從相對論建立的古典拉格朗日量所延伸：<math>\mathcal{L}=\bar\psi(i\hbar c \, \gamma^\alpha D_\alpha - mc^2)\psi -\frac{1}{4 \mu_0}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta},</math>以將[[光子]]以及[[電子]]的[[創生]]（creation）與[[湮滅]]（annihilation）整合進來。

在[[量子場論]]中，電磁場強度張量被當作是[[規範場]]強度張量的範本。此一項搭配上局域交互作用拉格朗日量（local interaction Lagrangian），其作用角色與在量子電動力學中幾乎一樣。

== 相關條目 ==
* [[麦克斯韦方程组]]
* [[電磁學]]

== 參考文獻 ==
*{{cite book | author=Brau, Charles A. | title=Modern Problems in Classical Electrodynamics | publisher=Oxford University Press | year=2004 | id=ISBN 978-0-19-514665-3}}
*{{cite book | author=Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. | title=An Introduction to Quantum Field Theory | publisher=Perseus Publishing | year=1995 | id=ISBN 978-0-201-50397-5}}

{{电磁学}}
{{張量}}

[[Category:電磁學|D]]
[[Category:張量|D]]
[[Category:廣義相對論所用張量|D]]
[[Category:闵可夫斯基时空|D]]