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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{向量字體常規}}
在[[電磁學]]裏，有幾種[[電磁場]]的數學表述，這篇文章會講述其中三種表述。

==向量場表述==
物理學家時常會用三維的[[向量場]]來表達[[電場]]和[[磁場]]。這些向量場在時空的每一點都有一個定義值，被認為是空間坐標和時間坐標的函數。電場和磁場分別寫為 <math>\mathbf{E}(x, y, z, t)</math> 和 <math>\mathbf{B}(x, y, z, t)</math> 。

假設只有電場存在，而且不含時間，則電場稱為[[靜電場]]。類似地，假設只有磁場存在，而且不含時間，則電場稱為[[靜磁學|靜磁場]]。但是，假若其中任何一個場是含時的，則電場和磁場都必須一起以耦合的電磁場來計算。

[[自由空間]]的電場和磁場，不論是在靜電學裏，靜磁學裏或[[電動力學]]裏，都遵守[[馬克士威方程組]]<ref name="Griffiths1998">{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 326-331 |isbn=0-13-805326-X}}</ref>：
{| class="wikitable"
|+ 自由空間的馬克士威方程組
|-
! 名稱
! 微分形式
! 積分形式
|-
| [[高斯定律]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>     
|<math>\oint_{\mathbb{S}}\ \mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
|-
| [[高斯磁定律]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>    
| <math>\oint_{\mathbb{S}}\ \mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = 0</math>
|-
| [[法拉第感應定律]]
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = - \ \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>     
| <math>\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \ \frac {\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}</math>
|-
| [[馬克士威-安培定律]]
| <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math> 
| <math>\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {\mathrm{d}\Phi_E}{\mathrm{d} t}</math>
|}

以下表格給出每一個符號所代表的物理意義，和其單位：
{| class="wikitable"
|+ 物理意義和單位
|-
! 符號
! 物理意義
! 國際單位
|-
| &ensp;<math>\mathbf{E}</math> 
|  [[電場]]
|  [[伏特]]／公尺，[[牛頓 (單位)|牛頓]]／[[庫侖]]
|-
| &ensp;<math>\mathbf{B}</math> 
|  [[磁場]]
|  [[特斯拉]]，[[韋伯 (單位)|韋伯]]／公尺<sup>2</sup>，[[伏特]]-秒／公尺<sup>2</sup>
|-
| &ensp;<math>{\nabla \cdot}</math>
| [[散度]]算符
|rowspan=2 | ／公尺
|-
| &ensp;<math>{\nabla \times}</math>
| [[旋度]]算符
|-
| &ensp;<math>\frac {\partial}{\partial t}</math>
| 對於時間的偏導數
| ／秒
|-
| &ensp;<math>\mathbb{S}</math>
|曲面積分的運算曲面
| 公尺<sup>2</sup>
|-
| &ensp; <math>\mathbb{L}</math> 
| 路徑積分的運算路徑
| 公尺
|-
| &ensp;<math>\mathrm{d}\mathbf{a}</math> 
| 微小面元素向量
| 公尺<sup>2</sup>
|-
| &ensp;<math> \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} </math>
| 微小線元素向量
| 公尺
|-
| &ensp;<math>\varepsilon_0 \ </math>
| [[真空電容率]]，又稱為[[電常數]]
| [[法拉]]／公尺
|-
| &ensp;<math>\mu_0 \ </math>
| [[真空磁導率]]，又稱為[[磁常數]]
| [[亨利 (單位)|亨利]]／公尺，牛頓／安培<sup>2</sup>
|-
| &ensp;<math>\ \rho \ </math>
| 總[[電荷密度]]
| 庫侖／公尺<sup>3</sup>
|-
| &ensp;<math>Q</math>
| 在閉曲面 <math>\mathbb{S}</math> 裏面的總[[電荷]]
| 庫侖
|-
| &ensp;<math>\mathbf{J}</math>
| 總[[電流密度]]
| 安培／公尺<sup>2</sup>
|-
| &ensp;<math>I</math>
| 穿過閉迴路 <math>\mathbb{L}</math> 所包圍的曲面的總[[電流]]
| 安培
|-
| &ensp;<math>\Phi_{B}=\int_{\mathbb{S}}\ \mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}</math>
| 穿過閉迴路 <math>\mathbb{L}</math> 所包圍的曲面 <math>\mathbb{S}</math> 的[[磁通量]]
| 特斯拉-公尺<sup>2</sup>
|-
| &ensp;<math>\Phi_{E}=\int_{\mathbb{S}}\ \mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}</math>
| 穿過閉迴路 <math>\mathbb{L}</math> 所包圍的曲面 <math>\mathbb{S}</math> 的[[電通量]]
| 庫侖-公尺<sup>2</sup>
|}

對於[[線性]]物質，馬克士威方程組內的電常數和磁常數，必須分別改換為線性物質的[[電容率]]和[[磁導率]]。有些更複雜的物質，由於電磁場的作用，會給出更複雜的響應。這些性質可以用[[張量]]來表示。假若電磁場變化很快，張量可能會含時間。假若電磁場的場振幅很大，張量也可能會跟電磁場有關，顯示出非線性或非局域的物質響應。更詳盡細節，請參閱[[光的色散]]和[[非線性光學]]。

1865年，[[詹姆斯·馬克士威]]發表了馬克士威方程組的完整形式於論文《[[電磁場的動力學理論]]》。後來，物理學家發現這組方程式居然與[[狹義相對論]]相容<ref>對於[[加速度]]中電荷的處理，仍舊存在問題，尚未得到圓滿答案： "[http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm Special relativity and Maxwell's equations.] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080101005238/http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm |date=2008-01-01 }}"</ref>。更令人驚訝的是，兩個處於不同[[參考系]]的觀察者，所觀察到的由兩個不同物理現象產生的明顯的巧合，按照狹義相對論，可以推論出並不是巧合。這論點非常重要，[[阿爾伯特·愛因斯坦]]的1905年講述[[狹義相對論]]的論文《[[論動體的電動力學]]》用了大半篇幅解釋怎樣轉換馬克士威方程組。

當從一個參考系S<sub>1</sub>轉換至另外一個以相對速度 <math>\mathbf{v}</math> 移動的參考系S<sub>2</sub>時，可以用[[勞侖茲變換]]來變換電場和磁場，其方程式為
:<math>\bar{\mathbf{E}}= \gamma \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{v}</math>

:<math>\bar{\mathbf{B}}= \gamma \left( \mathbf{B} - \frac {\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{v}</math>；

其中，<math>\bar{\mathbf{E}}</math> 和 <math>\bar{\mathbf{B}}</math> 是參考系S<sub>2</sub>的電場和磁場，<math>\gamma=1/\sqrt{1- {v^2}/{c^2}}</math> 是[[勞侖茲因子]]，<math>c</math> 是[[光速]]。

假設相對運動是沿著x-軸，<math>\mathbf{v}=v \hat{\mathbf{x}}</math> ，則每一個分量的轉換方程式分別為
:<math>\bar{E}_x = E_x</math> 、
:<math>\bar{E}_y = \gamma \left ( E_y - v B_z \right )</math> 、
:<math>\bar{E}_z = \gamma \left ( E_z + v B_y \right )</math> 、
:<math>\bar{B}_x = B_x</math> 、
:<math>\bar{B}_y = \gamma \left ( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right )</math> 、
:<math>\bar{B}_z = \gamma \left ( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right )</math> 。

很值得注意的一點是，假設對於某一個參考系，電場或磁場其中有一個場是零。這並不意味著，對於所有其他參考系，這個場都等於零。這可以從方程式看出，假設 <math>\mathbf{E}=0</math> ，則
:<math>\bar{E}_x =0</math> 、
:<math>\bar{E}_y =- \gamma v B_z</math> 、
:<math>\bar{E}_z = \gamma v B_y </math> 、
:<math>\bar{B}_x = B_x</math> 、
:<math>\bar{B}_y = \gamma B_y</math> 、
:<math>\bar{B}_z = \gamma  B_z</math> 。

除非 <math>B_y=B_z=0</math> ，電場 <math>\bar{\mathbf{E}}</math> 絕對不會等於零。

[[File:060618 conductor magnet.svg|thumb|right|300px|導線移動於不均勻磁場]]
這並不意味分別處於兩個不同參考系的觀察者，所觀察到的是兩種完全不同的事件；它們所觀察到的是以兩種不同方式描述的同樣的事件。愛因斯坦在他的1905年論文裏所提到的[[移動中的磁鐵與導體問題]]，是個經典例子。如圖右所示，假若環狀[[導線]]固定不動，而[[磁鐵]]以等速移動，則穿過環狀導線的[[磁通量]]會隨著時間而改變。按照[[法拉第電磁感應定律]]，會產生[[電動勢|感應電動勢]]和伴隨的電場，因而造成電流流動於環狀導線。可是，假若磁鐵固定不動，改由環狀導線以等速移動，則在環狀導線內部的電荷會因為感受到勞倫茲力而產生[[動生電動勢]]和伴隨的電場，因而造成電流流動於環狀導線。假設，對於這兩個案例，移動的速率相等，而方向相反。則感應出的電流是一樣的。

==勢場表述==
在解析有些電磁學問題時，物理學家會暫時不計算電場或磁場，而先計算伴隨的電勢或磁勢。[[電勢]] <math>V</math> 為純量，又被稱為純勢；磁勢 <math>\mathbf A</math> 為向量，又被稱為向量勢，或[[磁矢勢]]。從這些位勢，可以得到電場和磁場：
:<math>\mathbf E = - \nabla V - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}</math> 、
:<math>\mathbf B = \nabla \times \mathbf A</math> 。

將這兩個方程式代入馬克士威方程式。法拉第電磁感應定律和高斯磁定律的方程式都會約化為[[恆等式]]。另外兩個馬克士威方程式變得比較複雜：
:<math>\nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math> 、
:<math>\left ( \nabla^2 \mathbf A - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \nabla \left (\nabla \cdot \mathbf A + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J</math> 。

這兩個勢場方程式組合起來，具有與馬克士威方程組同樣的功能和完整性。原本的馬克士威方程組需要解析六個分量。因為電場和磁場各有三個分量。勢場表述只需要解析四個分量，因為電勢只有一個分量，磁矢勢有三個分量。可是，勢場表述涉及了二次微分，方程式也比較冗長。

值得慶幸地是有一種方法可以簡化這兩個勢場方程式。由於勢場不是唯一定義的，只要最後計算得到正確的電場和磁場就行。這性質稱為[[規範場論|規範自由]]。對於這兩個勢場方程式，選擇參數為位置和時間的任意函數 <math>\lambda(\mathbf{r},t)</math> ，勢場可以改變為
:<math>\mathbf A' = \mathbf A + \nabla \lambda</math> 、
:<math>V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t}</math> 。

電場和磁場不變：
:<math>\mathbf{B}' =\nabla\times\mathbf{A}' = \nabla\times\mathbf{A} + \nabla\times( \nabla \lambda)= \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}</math> 、
:<math>\mathbf{E}'= - \nabla V' - \frac{\partial \mathbf{A}'}{\partial t} = - \nabla  V+\frac{\partial \nabla\lambda}{\partial t} - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \frac{\partial \nabla\lambda}{\partial t}= - \nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=\mathbf{E}</math> 。

這規範自由可以用來簡化方程式。最常見的規範自由有兩種。一種是[[庫侖規範]]（{{lang|en|Coulomb gauge}}），選擇 <math>\lambda(\mathbf{r},t)</math> 的值來使得 <math>\nabla \cdot \mathbf{A}= 0</math> 。這對應於[[靜磁學]]案例。這選擇導致兩個勢場方程式分別變為
:<math>\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math> 、
:<math>\nabla^2 \mathbf{A} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \nabla \left ( \frac{\partial V}{\partial t} \right )</math> 。

庫侖規範有幾點值得注意之處。第一點，解析電勢很簡單，這電勢方程式的形式為[[帕松方程式]]。第二點，解析磁矢勢很困難，這是庫侖規範的一大缺點。第三點，庫侖規範與狹義相對論不很相容，當轉換參考系時，[[勞侖茲變換]]會撤除原本參考系的庫侖規範。每做一次勞侖茲變換，就要再重新做一次庫侖規範。第四點比較令人困惑，隨著在某一局域的源電荷的改變，在任何位置的電勢的改變是瞬時的，這現象稱為[[超距作用]]（{{lang|en|Action at a distance}}）。

例如，假使於下午一時，在紐約的電荷稍微移動了一下，那麼在完全同樣時間，一位假想觀察者在上海會測量出電勢有所改變。這現象似乎違背了[[狹義相對論]]，因為狹義相對論禁止以超過[[光速]]之速度來傳輸資訊、信號或任何實體。然而，由於沒有任何觀察者曾經測量到電勢，他們只能測量到電場，而電場是由電勢和磁矢勢共同決定的。所以，由於磁矢勢方程式為含時的，電場遵守狹義相對論要求的速度限制。所有可觀測量都與相對論一致。

另外一種常見的規範自由是[[勞侖次規範]]。選擇 <math>\lambda(\mathbf{r},t)</math> 的值來使得 <math>\nabla \cdot \mathbf{A}= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}</math> 。這選擇導致兩個勢場方程式分別變為
:<math>\nabla^2 \mathbf{A} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = \Box^2 \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}</math>
:<math>\nabla^2 V - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = \Box^2 V = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

算符 <math>\Box^2</math> 稱為[[達朗白算符]]。這兩個勢場方程式為非齊次[[波動方程式]]，其右邊項目是波源函數。勢場方程式有兩種解答：一種是源頭組態為未來時間（源電荷或源電流是設定於未來時間）的[[超前勢]]，另外一種是源頭組態為過去時間（源電荷或源電流是設定於過去時間）的[[推遲勢]]。因為不符合物理的[[因果關係]]，不具有任何物理意義，物理學家時常會刪除第一種解答，偏好選擇第二種解答。

值得強調的是，勞侖次規範並不比其它規範更正確，勢場本身是無法觀測到的（當然，不考慮像[[阿哈诺夫－波姆效应]]的例外）。勢場展示的任何非因果關係都會消失於可觀測到的電場或磁場。只有電場或磁場是具有物理意義的物理量。

==張量場表述==
{{main|電磁張量}}

電場和磁場可以綜合起來，形成一個[[反對稱關係|反對稱性]]二階協變[[張量]]，稱為[[電磁張量]]，寫為 <math>F_{\alpha \beta}</math>  。電磁張量將電場和磁場聚集在一起，以方程式表達：
:<math>F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 &  {E_x}/{c} & {E_y}/{c} &  {E_z}/{c} \\
{ - E_x}/{c} & 0 & - B_z & B_y \\
{ - E_y}/{c}  & B_z & 0 & - B_x \\
{ - E_z}/{c} & - B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>
 
使用[[閔可夫斯基時空|閔考斯基度規]] <math>\eta</math> ，
:<math>\eta^{\alpha \beta} = \operatorname{diag}(+1, - 1, - 1, - 1)=\left( \begin{matrix}
1 &  0 &  0 &  0 \\
0 & - 1 & 0 & 0 \\
0  & 0 & - 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & - 1
\end{matrix} \right)</math> <span style="vertical-align:bottom">，</span>

將 <math>F_{\alpha \beta}</math>  的下標拉高為上標，可以得到反變張量 <math>F^{\mu \nu}</math> 。採用[[愛因斯坦求和約定]]，這程序表達為
:<math>F^{\mu \nu} =\eta^{\alpha\mu} \, \eta^{\beta \nu} \, F_{\alpha \beta}= \ \left(\begin{matrix} 0 & -  {E_x}/{c} &  - {E_y}/{c} & - {E_z}/{c} \\  {E_x}/{c} & 0 & -B_z & B_y \\ {E_y}/{c} & B_z & 0 & -B_x \\ {E_z}/{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right)</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

給予一個 <math>n</math> 階反對稱協變張量 <math>F_{i_1 i_2 \dots i_n}</math> ，則其 <math>m</math> 階[[對偶張量]]（{{lang|en|dual tensor}}） <math>G^{j_1 j_2 \dots j_m},\quad m<n</math> 是一個反對稱反變張量：
: <math>G^{j_1 j_2 \dots j_m}=\frac{1}{n!}\ \epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\  i_1 i_2 \dots i_n }\ F_{i_1 i_2 \dots i_n}</math> ；

其中，<math>\epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\  i_1 i_2 \dots i_n }</math> 是 <math>m+n</math> 維[[列維-奇維塔符號]]。

根據這定義，<math>F_{\alpha \beta}</math> 的二階對偶張量 <math>G^{\mu \nu}</math> 是
:<math>G^{\mu \nu} = \ \left(\begin{matrix} 0 & - B_x & - B_y & - B_z \\ B_x & 0 & {E_z}/{c} & - {E_y}/{c} \\ B_y & - {E_z}/{c} & 0 &  {E_x}/{c} \\ B_z &  {E_y}/{c} & - {E_x}/{c} & 0 \end{matrix}\right)</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

換一種方法，將 <math>F^{\mu \nu}</math> 的項目做以下替換： <math>{\mathbf E}/{c} \to \mathbf B</math> 、<math>\mathbf B \to - \ {\mathbf E}/{c}</math> ，也可以得到二階對偶張量 <math>G^{\mu \nu}</math> 。

給予兩個慣性參考系  <math>\mathcal{S}</math> 、  <math>\bar{\mathcal{S}}</math> ；相對於參考系  <math>\mathcal{S}</math> ，參考系  <math>\bar{\mathcal{S}}</math> 以速度 <math>\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}</math> 移動。對於這兩個參考系，相關的'''勞侖茲變換矩陣''' <math>\Lambda^{\mu}_{\nu}</math> 是
:<math>\Lambda^{\mu}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix}  \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\  - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) </math> ；

其中，<math>\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{v}{c}\right)^2}}</math> 是[[勞侖茲因子]]，<math>\beta=\frac{v}{c}</math> 是'''貝他因子'''。

對於這兩個參考系，一個事件的四維位置分別標記為 <math>{x}^{\mu}</math> 、  <math>\bar{x}^{\mu}</math> 。那麼，這兩個四維位置之間的關係為
:<math>\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}</math> 。

在相對論裏，使用[[勞侖茲變換]]，可以將電磁張量和其對偶張量從一個參考系變換到另外一個參考系，以方程式表達，
:<math>\bar{F}^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu F^{\mu \nu}</math> 、
:<math>\bar{G}^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu G^{\mu \nu}</math> 。

===馬克士威方程組的張量標記===
{{main|經典電磁理論的協變形式}}

使用張量標記，馬克士威方程組的形式為<ref name=Jackson1999>{{cite book|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp, 553-558|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>
:<math>{F^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = \mu_0 J^\beta</math> 、
:<math>{G^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = 0</math> ；

其中，<math>{F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}</math> 和 <math>{G^{\alpha\beta }}_{,\alpha}</math> 分別是 <math>F^{\alpha \beta}</math> 和 <math>G^{\alpha \beta}</math> 對於[[曲線坐標]]（{{lang|en|curvilinear coordinates}}） <math>x^{\alpha}</math> 的[[協變導數]]，<math>J^\beta = \begin{pmatrix} \rho c & J_x & J_y & J_z \end{pmatrix}</math> 是[[四維電流密度]]。

假設 <math>x^{\alpha}</math> 為[[直角坐標]]，<math>x^{\alpha}=(ct,x,y,z)</math> ，則協變導數 <math>{F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}</math> 和 <math>{G^{\alpha \beta}}_{,\alpha}</math> 分別以方程式表達為
:<math>{F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}=\frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^{\alpha}}</math> ；
:<math>{G^{\alpha \beta}}_{,\alpha}=\frac{\partial G^{\alpha \beta}}{\partial x^{\alpha}}</math> 。

仔細分析，設定 <math>\beta = 0</math> ，則可從 <math>{F^{\alpha \beta}}</math> 的馬克士威方程式得到高斯定律的方程式：
:<math>{F^{\alpha 0 }}_{,\alpha}= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right)=\mu_0 J^0=\mu_0 c \rho</math> ;

又可從 <math>{G^{\alpha \beta}}</math> 的馬克士威方程式得到高斯磁定律的方程式：
:<math>{G^{\alpha 0 }}_{,\alpha}= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)=0</math> 。

另外 <math>\beta = 1,2,3</math> 的 <math>{F^{\alpha \beta}}</math> 的三條馬克士威方程式，對應於馬克士威-安培定律的方程式：
:<math>{F^{\alpha 1}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial t}+\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}=\mu_0 J^1=\mu_0 J_x</math> 、
:<math>{F^{\alpha 2}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_y}{\partial t} - \frac{\partial B_z}{\partial x}+\frac{\partial B_x}{\partial z}=\mu_0 J^2=\mu_0 J_y</math> 、
:<math>{F^{\alpha 3}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}+\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}=\mu_0 J^3=\mu_0 J_z</math> ；

而 <math>{G^{\alpha \beta}}</math> 的三條馬克士威方程式，對應於法拉第電磁感應定律的方程式：
:<math>{G^{\alpha 1}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_x}{\partial t} - \frac{\partial E_z}{c \partial y} + \frac{\partial E_y}{c \partial z}=0 </math> 、
:<math>{G^{\alpha 2}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_y}{\partial t} + \frac{\partial E_z}{c \partial x} - \frac{\partial E_x}{c \partial z}=0 </math> 、
:<math>{G^{\alpha 3}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_z}{\partial t} - \frac{\partial E_y}{c \partial x} + \frac{\partial E_x}{c \partial y}=0 </math> 。

==參閱==
*[[電磁波方程式]]
*[[電磁場]]
*[[量子電動力學]]

==參考文獻==
{{reflist|2}}

{{DEFAULTSORT:D}}
[[Category:電磁學]]