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{{noteTA
|G1=物理學
}}
在[[流体力学]]中，'''雷诺数'''（Reynolds number）是[[流体]]的[[惯性]]力<math>\frac{\rho v^2}{L}</math>与[[黏性]]力<math>\frac{\mu v}{L^2}</math>的比值，它是一个[[無量纲量]]。

雷諾數較小時，黏滯力對流場的影響大於慣性力，流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減，流體流動穩定，為[[層流]]；反之，若雷諾數較大時，慣性力對流場的影響大於黏滯力，流體流動較不穩定，流速的微小變化容易發展、增強，形成紊亂、不規則的[[紊流]]流場。

== 定义 ==
雷諾數一般表示如下：
:<math>\mathrm{Re} = \frac{\rho u L}{\mu} = \frac{u L}{\nu}</math>
其中
* <math>u</math>是特徵速度（[[国际单位]]：m/s）
* <math>L</math>是[[特徵長度]]（m）
* <math>\mu</math>是流體[[黏滯係數|动力黏度]]（Pa·s或N·s/m²）
* <math>\nu</math>是流體[[黏度|运动黏度]]（<math>\nu = \mu / \rho</math>）（m²/s）
* <math>\rho</math>是流體[[密度]]（kg/m³）
对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（[[密度]]、[[黏度]]）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。特徵長度取決於觀察的流場情況，以及約定俗成的使用习惯。當觀察在水管中流動內流場，或是放在流场中的球体外流場時，前者可能會選擇水管直徑或是管長，而後者通常使用直径作为特征長度。而半径和直径对于球型、圆形來說其實是同一件事，但是計算上就差了一倍，因此习惯上常用直徑來代表。

=== 管内流场 ===
对于在管内的流动，雷诺数定义为：
:<math>\mathrm{Re} = \frac{\rho u D}{\mu} = \frac{u D}{\nu} = \frac{Q D}{\nu A}</math>

式中：
* <math>u</math>特徵速度選擇平均流速（[[国际单位]]：m/s）
* <math>D</math>特徵長度選擇管径（m）
* <math>Q</math>是体积[[流量]]（m³/s）
* <math>A</math>是横截面积（m²）

其中 <math>Q = u A</math>。注意到横截面积和管径之间存在制约关系 <math>A = \frac{\pi}{4} D^2</math>（其中 <math>\pi</math> 是圆周率），因此上式可进一步变形为

:<math>\mathrm{Re} = \frac{4 Q}{\pi \nu D} = \frac{4 \rho Q}{\pi \mu D} = \frac{2 Q}{\sqrt{\pi A} \nu} = \frac{2 \rho Q}{\sqrt{\pi A} \mu} = \frac{2 \sqrt{Q u}}{\sqrt{\pi} \nu} = \frac{2 \rho \sqrt{Q u}}{\sqrt{\pi} \mu}</math>

注意到质量流量 <math>W</math> 满足 <math>W = \rho Q</math>，因此上式可改写为

:<math>\mathrm{Re} = \frac{4 W}{\pi \mu D} = \frac{2 W}{\sqrt{\pi A} \mu} = \frac{2 \sqrt{W u}}{\sqrt{\pi} \mu}</math>

要计算雷诺数，您可以使用[https://reynoldsnumbercalculator.cn/ 此雷诺数计算器] {{Wayback|url=https://reynoldsnumbercalculator.cn/ |date=20240716123644 }}来简化流程。

=== 平板流 ===
对于在两个宽板（板宽远大于两板之间距离）之间的流动，特征长度为两倍的两板之间距离。

=== 流体中的物体 ===
对于流体中的物体的雷诺数，经常用'''Re<sub>p</sub>'''表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有[[漩涡分离]]，还可以研究沉降速度。
==== 流体中的球 ====
对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。在这种情况下，层流只存在于Re=10或者以下。
在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从[[斯托克斯定律]]。

球在流体中的雷诺数可以用下式计算，其中<math>v_f</math>为流体速度，<math>v_s</math>为球速度，<math>d_s</math>为球直径，<math>\rho_f</math>为流体密度，<math>\mu_f</math>为流体粘度<ref>{{Cite journal |last=董 |first=长银 |last2=栾 |first2=万里 |date=2007 |title=牛顿流体中的固体颗粒运动模型分析及应用 |url=http://www.sandcontrol.com.cn/UploadFiles/201309/2013091462215453.pdf |journal=中国石油大学学报 (自然科学版 ) |volume=31 |issue=5 |pages=55-63 |doi=10.3321/j.issn:1000-5870.2007.05.012 |access-date=2017-10-25 |archive-date=2017-10-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171025184736/http://www.sandcontrol.com.cn/UploadFiles/201309/2013091462215453.pdf |dead-url=no }}</ref>。

<math> Re = \frac{|v_f-v_s| d_s \rho_f}{\mu_f}</math>

=== 搅拌槽 ===
对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径{{math|''D''}}。速度{{math|''V''}}等于{{math|''ND''}},其中{{math|''N''}}是转速(周/秒)。雷诺数表达为:
:<math> \mathrm{Re} = {{\rho V D} \over {\mu}} = {{\rho N D^2} \over {\mu}}.</math>
当Re>10,000时，这个系统为完全湍流状态。<ref name=Sinnott>R. K. Sinnott ''Coulson & Richardson's Chemical Engineering, Volume 6: Chemical Engineering Design,'' 4th ed (Butterworth-Heinemann) ISBN 0-7506-6538-6 page 473</ref>

== 过渡流雷诺数 ==
在外流場中由於有[[边界层]]的影響，實驗中發現当流體流过一定长度后，會由层流過渡到完全為湍流。对于不同的尺度和不同的流体，只要雷諾數達到某個特定值，这种不稳定性都会发生。外流場通常以雷諾數<math>\mathrm{Re}_x \approx 5 \times 10^5</math>代表層流結束, 这里特徵長度 x 是从物體前缘起算的距离，特徵速度是边界层以外的自由流场速度。

內流場雷诺数<math>\mathrm{Re} < 2100</math>为[[层流]]状态，<math>\mathrm{Re} > 4000</math>为[[湍流]]状态，介於2100～4000为过渡流状态。


* 層流(又可稱作黏滯流動、線流)：流體沿著管軸以平行方向流動，因為流體很平穩，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動，所以流動摩擦損失較小。

* 湍流(又可稱作紊流、擾流)：此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞，非直線流動而是漩渦狀，流動摩擦損失較大。

==管道中的摩擦阻力==
[[File:Moody EN.svg|thumb|right|400px|[[穆迪圖]]說明達西摩擦因子''f''和雷诺数和相對粗糙度的關係]]
在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用[[穆迪圖]]來說明，穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下，達西摩擦因子''f''和雷诺数<math>{\mathrm{Re}}</math>及相對粗糙度<math>\epsilon / D</math>的關係，圖中隨著雷诺数的增加，[[管流]]由層流變為过渡流及湍流，管流的特性和流體為层流、过渡流或湍流有明顯關係。

== 流动相似性 ==
两个流动如果相似的话，他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和[[欧拉数 (物理学)|欧拉数]]。当在模型和真实的流动之间比较两个流体中相应的一点，如下关系式成立：

:<math> \mathrm{Re}_m = \mathrm{Re} \; </math>

: <math> \mathrm{Eu}_m = \mathrm{Eu} \;   \quad\quad     \mbox{i.e.}   \quad  {p_m \over \varrho_m {v_m}^{2}} = {p\over \varrho v^{2}} \; , </math>
带m下标的表示模型里的量，其他的表示实际流动里的量。
这样工程师们就可以用缩小尺寸的水槽或者[[风洞]]来进行试验，与数值模拟的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。实际应用中也许会需要其他的[[无量纲量]]与模型一致，比如说[[马赫数]]，[[福祿數]]。

以下是一些雷诺数的例子<ref>{{cite journal |last=Patel |first=V. C. |first2=W. |last2=Rodi |first3=G. |last3=Scheuerer |title=Turbulence Models for Near-Wall and Low Reynolds Number Flows—A Review |journal=AIAA Journal |volume=23 |issue=9 |year=1985 |pages=1308–1319 |doi=10.2514/3.9086 |bibcode = 1985AIAAJ..23.1308P }}</ref><ref>{{cite book |last=Dusenbery |first=David B. |year=2009 |title=Living at Micro Scale |url=https://archive.org/details/livingatmicrosca0000duse |page=[https://archive.org/details/livingatmicrosca0000duse/page/136 136] |publisher=Harvard University Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=9780674031166 }}</ref>：

* [[纤毛虫]]~ 1×10<sup>−1</sup> 
* 最小的魚 ～1
* [[大脑]]中的[[血液]]流 ～1×10<sup>2</sup>
* [[主动脉]]中的血流~ 1×10<sup>3</sup>
'''湍流临界值'''~ 2.3×10<sup>3</sup>-5.0×10<sup>4</sup>(对于管内流)到10<sup>6</sup>(边界层)
* [[棒球]]（[[美國職業棒球大聯盟]]投手投球）~2×10<sup>5</sup>
* [[游泳]]（人）~4×10<sup>6</sup>
* 最快的魚 ~1×10<sup>8</sup>
* [[蓝鲸]]~ 3×10<sup>8</sup>
* 大型邮轮（{{le|伊丽莎白女王2号|Queen_Elizabeth_2}}）~ 5×10<sup>9</sup>

== 雷诺数的推导 ==
雷诺数可以从[[无量纲]]的非可压[[納維－斯托克斯方程]]推导得来:
:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.</math>

上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。无量纲化上式，需要把方程变成一个独立于物理单位的方程。我们可以把上式乘以系数:
:<math>\frac{D}{\rho V^2}</math>
这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。我们设:
:<math> \mathbf{v'} = \frac{\mathbf{v}}{V},</math>
:<math>\ p' = p\frac{1}{\rho V^2}, </math> 
:<math> \ \mathbf{f'} = \mathbf{f}\frac{D}{\rho V^2},</math>
:<math> \ \frac{\partial}{\partial t'} = \frac{D}{V} \frac{\partial}{\partial t},</math>
:<math>  \ \nabla' = D \nabla </math>
无量纲的纳维-斯托克斯方程可以写为:
:<math>\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho D V} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{f'}</math>

这里:<math>\frac{\mu}{\rho D V} = \frac{1}{\mathit{Re}}.</math>

最后,为了阅读方便把撇去掉:
:<math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{\mathit{Re}} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.</math>

这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的流场是相似的。

== 参见 ==
* [[磁雷诺数]]


==參考文獻==

<references/>

{{NonDimFluMech}}

[[Category:流体力学]]
[[Category:无量纲]]