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'''雷诺平均纳维－斯托克斯方程'''（{{lang-en|Reynolds-averaged Navier–Stokes equations}}，简称RANS）是[[流体力学]]中一种用来描述[[湍流]]的时均[[纳维－斯托克斯方程]]。其思想是将湍流运动看作时间平均与瞬时脉动两种流动的叠加，即任一物理量<math>\phi</math>满足：

:<math>\phi=\bar{\phi}+\phi'.</math>

其中，<math>\bar{\phi}</math>为时均值，<math>\phi'</math>为脉动值。时均值可定义为：

:<math>\bar{\phi}=\frac{1}{\Delta t} \int_{t}^{t+\Delta t} \phi(t) dt.</math>

如果不考虑密度脉动的影响，对[[纳维－斯托克斯方程]]中的物理量按上述方法取时间平均，可得到[[可压缩流体]]平均流动的控制方程（即雷诺平均方程）：<ref group="注">式中为方便起见，对于非脉动值的时均值，使用去掉上划线的<math>\phi</math>代替含上划线的<math>\bar{\phi}</math>。</ref>

:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \mathbf{u}) = 0</math>
:<math>\frac{\partial (\rho u)}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho u\mathbf{u}) = \operatorname{div}(\mu\ \operatorname{grad}u) - \frac{\partial p}{\partial x} + \left[ -\frac{\partial (\rho \overline{u'^2})}{\partial x}-\frac{\partial (\rho \overline{u'v'})}{\partial y}-\frac{\partial (\rho \overline{u'w'})}{\partial z} \right] + S_u</math>
:<math>\frac{\partial (\rho v)}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho v\mathbf{u}) = \operatorname{div}(\mu\ \operatorname{grad}v) - \frac{\partial p}{\partial y} + \left[ -\frac{\partial (\rho \overline{u'v'})}{\partial x}-\frac{\partial (\rho \overline{v'^2})}{\partial y}-\frac{\partial (\rho \overline{v'w'})}{\partial z} \right] + S_v</math>
:<math>\frac{\partial (\rho w)}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho w\mathbf{u}) = \operatorname{div}(\mu\ \operatorname{grad}w) - \frac{\partial p}{\partial z} + \left[ -\frac{\partial (\rho \overline{u'w'})}{\partial x}-\frac{\partial (\rho \overline{v'w'})}{\partial y}-\frac{\partial (\rho \overline{w'^2})}{\partial z} \right] + S_w</math>

如果使用[[张量]]中的指标符号，则又可表示为：

:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_i) = 0</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_i) + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_i u_j) = -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\mu \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \rho \overline{u_i'u_j'}) + S_i</math>

上式中的<math>-\overline{u_i'u_j'}</math>被称作[[雷诺应力]]，即：

:<math>\tau_{ij} = -\overline{u_i'u_j'}</math>

== 注释 ==
<small><references group="注" /></small>

== 参考资料 ==
* {{cite book|title=《计算流体动力学分析》|author=王福军|publisher=清华大学出版社}}

[[Category:亂流]]
[[Category:流体力学中的方程]]