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'''零階保持'''（zero-order hold）簡稱'''ZOH'''，是傳統[[數位類比轉換器|數位模拟轉換器]]（DAC）上{{link-en|信號重建|signal reconstruction}}的數學模型。此作法會在各取樣區間之間，讓信號維持之前的值，以此方式將[[离散信号]]轉換為[[连续信号]]，在電子通訊上有許多的應用。

==時域模型==

[[Image:Zeroorderhold.impulseresponse.svg|thumb|圖1：在零階保持的時域分析中的時間後移以及時間調整矩形函数]]
[[Image:Zeroorderhold.signal.svg|thumb|圖2：分段常數信號 ''x''<sub>ZOH</sub>(''t'').]]
<!--[[Image:Sampled.signal.svg|thumb|Figure 3.  A modulated Dirac comb ''x''<sub>s</sub>(''t'').]]-->
零階保持可以從取樣數列''x''[''n'']重建為以下的連續時間信號，假設每一個取樣的時間間隔都是''T''：

:<math>x_{\mathrm{ZOH}}(t)\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \mathrm{rect} \left(\frac{t-T/2 -nT}{T} \right) \,</math>

:其中<math>\mathrm{rect}(),</math>為[[矩形函数]]。

函數<math>\mathrm{rect} \left(\frac{t-T/2}{T} \right)</math>如圖1所示，而<math>x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,</math>是[[阶跃函数|分段常數函数]]，如圖2所示。

==頻域模型==
上述ZOH輸出的方程式也可以表示為冲激响应分段常數函数（rect函數）的[[线性时不变系统理论|线性时不变濾波器]]之輸出，輸入則是[[狄拉克δ函数]]乘以取樣數值所產生的脈衝序列。濾波器可以在頻域下進行分析，和其他的信號重建方式進行比較，例如依[[采样定理]]建議的{{link-en|惠特克-香農插值公式|Whittaker–Shannon interpolation formula}}，或是在二個取樣點之間線性內插的[[一階保持]]。

在此作法中，會將[[狄拉克δ函数]]的脈衝序列''x''<sub>s</sub>(''t'')經過[[低通滤波器]]還原為[[连续信号]] ''x''(''t'')。

雖然實際的數位類比轉換器（DAC）不是以此方式進行，不過其其特性可以建模為將假想脈衝序列''x''<sub>s</sub>(''t'')用LTI濾波後所得的特性，而此濾波器的特性是每一個輸入脈衝都可以產生持續到下一個取樣點的常數步階輸出。

一開始先從取樣訊號，配合delta函數建立連續訊號：

: <math>
\begin{align}
x_s(t) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta\left(\frac{t - nT}{T}\right) \\
& {} = T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - nT).
\end{align}
</math>

其中''T''的比例是因為將delta函數配合時間調整比例而產生的，其意思是使''x<sub>s</sub>''(''t'')的平均值等於在取樣的數值，因此低通濾波器的直流增益設定為1即可。有些文獻使用這種比例調整方式<ref>{{cite book | title = Principles of Digital Audio | author = Ken C. Pohlmann | publisher = McGraw-Hill | year = 2000 | edition = fifth | ISBN = 0-07-144156-5}}</ref>，不過許多文獻不考慮delta函數的係數'T''，因此低通濾波器會有一個直流增益''T''，也就會隨取樣時間而變化。

[[Image:Zeroorderhold.impulseresponse.svg|thumb|圖4。零階保持''h''<sub>ZOH</sub>(''t'')的脈衝響應。和圖1的rect函數相同，但其面積為1，因此濾波器的直流增益為1即可]]

零階保持是假想的{{link-en|濾波器 (信號)|filter (signal processing)|濾波器}}或[[线性时不变系统理论|线性系統]]，可以將調變後的迪拉克脈衝''x<sub>s</sub>''(''t'')轉換為片段連續的訊號（如圖2）。

:<math>x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T}-\frac{1}{2} \right) \ </math>

其等效的[[冲激响应]]（如圖4）為：

: <math>h_{\mathrm{ZOH}}(t)\,=  \frac{1}{T} \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T}-\frac{1}{2} \right)
 = \begin{cases}
\frac{1}{T} & \mbox{if } 0 \le t < T  \\
0           & \mbox{otherwise}
\end{cases} \ </math>

其等效頻率響應為冲激响应的[[傅里叶变换]]。

: <math>H_{\mathrm{ZOH}}(f)\, = \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{ZOH}}(t) \} \,= \frac{1 - e^{-i 2 \pi fT}}{i 2 \pi fT} = e^{-i \pi fT} \mathrm{sinc}(fT) \ </math>

: 其中<math>\mathrm{sinc}(x) \ </math>是正規化的[[Sinc函数]] <math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}</math> ，常用在數位信號處理中。

ZOH的[[传递函数]][[拉普拉斯变换]]可以用將''s''替代為''i'' 2 π ''f''而得

: <math>H_{\mathrm{ZOH}}(s)\, = \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{ZOH}}(t) \} \,= \frac{1 - e^{-sT}}{sT} \ </math>

實際的[[數位類比轉換器]]（DAC）不會輸出[[狄拉克δ函数]]的序列''x''<sub>s</sub>(''t'')（因此，若是理想的低通濾波，會在取樣前得到獨特的頻寬受限制的訊號），會輸出方波的序列''x''<sub>ZOH</sub>(''t'')（[[阶跃函数]]），因此ZOH在DAC的頻率響應中會有一個本質造成的影響，在頻率較高時，會有輕微的{{link-en|信号衰减|roll-off}}（在[[奈奎斯特频率]]處降低3.9224&nbsp;dB，對應sinc(1/2) = 2/π）。此衰減是因為傳統DAC的「保持」特性，不是因為在傳統[[類比數位轉換器]]前面的[[取樣保持]]電路的影響。

==相關條目==
* [[采样定理]]
* [[一階保持]]
<!-- * [[Discretization|Discretization of linear state space models (assuming zero-order hold)]] [[离散化]]-->

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:数字信号处理]]
[[Category:電機工程]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:信号处理]]