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{{线性代数}}
在[[数学]]中，一个[[算子]] ''A'' 的'''零空间'''是方程 ''A'''''v''' = '''0''' 的所有解 '''v''' 的集合。它也叫做 ''A'' 的[[核 (代数)|核]]（核空间）。用[[集合建造符号]]表示为

:<math>\hbox{Null}(A) = \{\mathbf{v} \in V : A\mathbf{v} = \mathbf{0} \}.</math>

尽管术语核更加常用，术语零空间有时用在避免混淆于[[积分变换]]的情境中。应当避免把零空间混淆于零向量空间，它是只有零向量的空间。

如果算子是在向量空间上的[[线性算子]]，零空间就是[[线性子空间]]。因此零空间是[[向量空间]]。

== 例子 ==

1.  考虑函数<math>f</math> ：
:<math>f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math>  
: <math>(x, y) \longmapsto x - y</math>，
:它是一个[[线性映射]]，因为 <math>f(x + \lambda z, y + \lambda w) = (x + \lambda z) - (y + \lambda w) = f(x, y) + \lambda  f (z, w)</math>。它的零空间由所有第一个和第二个坐标一致的向量组成，就是说描述了一条直线 <math> \left\{(x, x) : x \in \mathbb{R} \right\} </math>  。
2.  在一个线性空间中固定一个向量 <math>y</math> 并定义线性映射 <math>f</math> 为向量 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的[[点积]]。它的零空间由所有正交于 <math>y</math> 的向量，即 <math>y</math> 的[[正交补]]组成。

== 性质 ==

如果 ''A'' 是[[矩阵]]，它的零空间就是所有向量的空间的[[线性子空间]]。这个线性子空间的[[维度]]叫做 ''A'' 的'''零化度'''(nullity)。这可以计算为在矩阵 ''A'' 的[[阶梯形矩阵|-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵]]中不包含支点的纵-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-数。'''[[秩-零化度定理]]'''声称任何矩阵的[[矩阵的秩|秩]]加上它的零化度等于这个矩阵的纵-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-数。

对应于零[[奇异值分解|奇异值]]的 ''A'' 的[[奇异值分解|右奇异向量]]形成了 ''A'' 的零空间的[[基 (线性代数)|基]]。

''A'' 的零空间可以用来找到和表达方程 ''A'''''x''' = '''b''' 的所有解('''完全解''')。如果 x<sub>1</sub> 是这个方程的一个解，叫做'''特定解'''，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依 '''b''' 而变化，而零空间的向量不是。

要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果 ''A'''''y''' = '''b'''，且 ''A'''''v''' = '''0'''，则明显的 ''A''('''y'''+'''v''') = ''A'''''y'''+''A'''''v''' = '''b'''+'''0''' = '''b'''。所以 '''y'''+'''v''' 也是 ''A'''''x'''='''b''' 的解。在其他方向上，如果我们有对 ''A'''''x'''='''b''' 的另一个解 '''z'''，则 ''A''('''z'''&minus;'''y''') = ''A'''''z'''&minus;''A'''''y''' = b&minus;b = 0。所以向量 '''u''' = '''z'''&minus;'''y''' 在 ''A'' 的零空间中而 '''z''' = '''y'''+'''u'''。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解 '''y''' 。

如果一个线性映射 ''A'' 是[[单同态]]，则它的零空间是零。因为如果反过来它的零空间是非零，由类似上面的方法可以得出''A'''''y''' = '''b'''的解不止一个，也就是说线性映射 ''A'' 不是单射了。

如果映射是[[零映射]]，则零空间同于映射的定义域。

== 找到一个矩阵的零空间 ==

考虑矩阵 

:<math>A=\begin{bmatrix}-2 & -4 & 4 \\ 2 & -8 & 0 \\ 8 & 4 & -12\end{bmatrix} \!\ </math>

要找到它的零空间，须找到所有向量 <math>v</math> 使得 <math>Av=0</math>。首先把 <math>A</math> 变换成[[階梯形矩陣|簡化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵]]：

:<math>E=\begin{bmatrix}1 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \!\ </math>  

有 <math>Av=0</math> 当且仅当 <math>Ev=0</math>。使用符号 <math>v=[x, y, z]^T</math>，后者方程变为

: <math>\begin{bmatrix}1 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix};
\begin{bmatrix}x-4z/3 \\ y-z/3 \\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}x=4z/3 \\ y=z/3 \\ 0=0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}x=4s/3 \\ y=s/3 \\ z=s\end{bmatrix} </math> 

所以，<math>A</math> 的零空间是一维空间，

:<math>v=\begin{bmatrix}4s/3 \\ s/3 \\ s\end{bmatrix} </math>

==外部链接==
*[https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-6-column-space-and-nullspace/ MIT Video Lecture on Column Space and Nullspace] {{Wayback|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-6-column-space-and-nullspace/ |date=20201205144621 }}at MIT OpenCourseWare
*http://www.bilibili.com/video/av6240005/ {{Wayback|url=http://www.bilibili.com/video/av6240005/ |date=20190503002437 }}
{{线性代数的相关概念}}
[[Category:线性代数|L]]

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