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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代数]]中，一个[[环_(代数)|环]]的一个非零元素 ''a'' 是一个'''左零因子'''，当且仅当存在一个非零元素 ''b''，使得 ''ab=0''。类似的，一个非零元素 ''a'' 是一个'''右零因子'''，当且仅当存在一个非零元素 ''b''，使得 ''ba=0''。左零因子和右零因子通稱為'''零因子'''（zero divisor）。<ref>{{cite book|author=张贤科、许甫华|title=高等代数学|year=2004|publisher=清华大学出版社|isbn=9787302082279|pages=10|url=https://books.google.com.hk/books?id=AZuBsy3s2NEC&pg=PA10&dq=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90#v=onepage&q=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90&f=false|access-date=2014-12-28|archive-date=2020-02-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20200204051314/https://books.google.com.hk/books?id=AZuBsy3s2NEC&pg=PA10&dq=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90#v=onepage&q=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90&f=false|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite book|author=Jeffrey Bergen|title=A Concrete Approach to Abstract Algebra: From the Integers to the Insolvability of the Quintic|year=2009|publisher=Academic Press|isbn=9780080958620|pages=234|url=https://books.google.com.hk/books?id=emE6SLT3CLsC&pg=PA235&dq=zero+divisor#v=onepage&q=zero%20divisor&f=false|access-date=2014-12-28|archive-date=2020-02-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20200204051321/https://books.google.com.hk/books?id=emE6SLT3CLsC&pg=PA235&dq=zero+divisor#v=onepage&q=zero%20divisor&f=false|dead-url=no}}</ref>{{notetag|1=也有作者將既是左零因子又是右零因子的元素称为零因子。<ref>{{cite book|author=俞正光、李永樂、呂志|title=理工科代数基础|year=1998|publisher=清华大学出版社|isbn=9787302029779|pages=309|url=https://books.google.com.hk/books?id=w59lg6f6kIsC&pg=PA310&dq=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90#v=onepage&q=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90&f=false|access-date=2014-12-28|archive-date=2020-02-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20200204051324/https://books.google.com.hk/books?id=w59lg6f6kIsC&pg=PA310&dq=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90#v=onepage&q=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90&f=false|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite book|author=王礼萍|title=离散数学简明教程|year=2005|publisher=清华大学出版社|isbn=9787302112297|pages=87|url=https://books.google.com.hk/books?id=karuy0MxrgoC&pg=PA87&dq=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90#v=onepage&q=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90&f=false|access-date=2014-12-28|archive-date=2020-02-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20200204051328/https://books.google.com.hk/books?id=karuy0MxrgoC&pg=PA87&dq=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90#v=onepage&q=%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90&f=false|dead-url=no}}</ref>}}。在[[交换环]]中，左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为'''[[正则]]的'''。

== 例子 ==

* [[整数]]环 <math> \mathbb{Z} </math> 没有零因子，但是在环 <math> \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} </math> 中，有 <math> (0,n) \times (m,0) = (0,0) </math> ，于是 <math> (0,n) </math> 和 <math> (m,0) </math> 都是零因子。

*在[[商环]] <math> \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} </math> 中，[[同余类]] <math> 4 </math> （即 <math> 4+6\mathbb{Z} </math>），是一个零因子，因为 <math> 3 \times 4 </math> 是同余类 <math> 0 </math>。

*在方[[矩阵]]组成的环中，[[逆矩陣|不可逆矩阵]]都是零因子。例如：
:<math>\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}</math>
:因为
:<math>\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}</math>

*　更一般地说，在某些域上的 ｎ×ｎ 的[[矩阵]]组成的环中，左零因子也就是右零因子（实际上就是所有的非零的[[可逆矩阵|奇异矩阵]]）。在某些[[整环]]上的 ｎ×ｎ 的[[矩阵]]组成的环中，零因子就是所有[[行列式]]为0的非零矩阵。

*下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子，它们都不是零因子。
**令 ''S'' 为所有整数数列的集合，则 ''S'' 到 ''S'' 的映射，对于数列的加法和映射的复合，成为一个环 End(''S''),。
**考虑以下三个映射：右移映射：''R''(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,''a''<sub>3</sub>,...) = (0, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,...)， 左移映射：L(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,''a''<sub>3</sub>,... ) = (''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>,...)，以及只保留首项的映射： ''T''(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,''a''<sub>3</sub>,... ) = (''a''<sub>1</sub>, 0, 0, ... )
**''LT'' ＝ ''TR'' ＝ 0，所以 ''L'' 是一个左零因子，''R'' 是一个右零因子。但是 ''L'' 不是右零因子，''R'' 也不是左零因子。因为 ''LR'' 便是恒等映射。也就是说，如果有一个映射 ''f'' 使得 ''fL''= 0，那么 0＝(''fL'')''R'' = ''f''(''LR'')= ''f''1 = ''f''，''f'' 必然是 0，于是 ''L'' 不可能是右零因子。同理，''R'' 也不可能是左零因子。
**实际上，我们可以将 ''S'' 到 ''S'' 的映射看作[[可数]]阶数的矩阵，于是左移映射 ''L'' 就可以表示为：
:<math>A = \begin{pmatrix}
0      & 1 & 0      &0&0&\\
0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\
0 & 0 & 0 &1&0&\\
0&0&0&0&1&\\
&&\vdots&&&\ddots
\end{pmatrix}</math>
:*同理 ''R'' 则是 ''L'' 的转置矩阵（同时也是 ''L'' 的逆矩阵）。可以看出这个例子在有限阶矩阵中是无法构造的。

== 性质 ==

*左零因子或右零因子不可能是[[可逆元]]。

*任意的非零的[[等幂|等幂元]] ''a'' ≠ 1 都是零因子，因为由 ''a''<sup>2</sup> = ''a'' 可推出 ''a''(''a'' − 1) = (''a'' − 1)''a'' = 0。此外，[[幂零元]]是当然的零因子。

*一个非退化的[[交换环]]（0 ≠ 1）若没有零因子，则是一个[[整环]]。

*[[商环]] '''Z'''/''n'''''Z''' 包含零因子，当且仅当 ''n'' 是[[合数]]。如果 ''n'' 是[[素数]]，'''Z'''/''n'''''Z''' 是一个域，因而没有零因子，因为每个非零元素都是[[可逆元|可逆]]的。

*在[[凯莱-迪克森结构]]下的[[十六元数]]中，也包含了零因子。

== 参见 ==

*[[环 (代数)|环]]
*[[整环]]

== 註釋 ==
{{ReflistH}}
{{NoteFoot}}
{{ReflistF}}

== 參考資料 ==
{{reflist}}

{{ModernAlgebra}}
{{二元運算的性質}}

[[Category:交換代数|L]]
[[Category:环论|L]]
[[Category:零]]