查看“︁雙線性形式”︁的源代码

在域<math>F</math>中，[[向量空間]]<math>V</math>的'''雙線性形式'''指的是一个<math>V\times V\rightarrow F</math>上的[[线性算子|线性函数]]<math>B</math>，满足：
:<math> \forall v \in V</math>，映射：
:<math>w \mapsto B(v, w)</math>
:<math>w \mapsto B(w, v)</math>
都是线性的。這個定義也適用於''交換環''的[[模]]，这时线性函数要改为'''模同态'''。

注意一個雙線性形式是特別的'''[[双线性映射]]'''。

==坐標表示法==

如果<math>V</math>是n維向量空間，设<math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math>是<math>V</math>的一组[[基 (線性代數)|基]]。定义<math>n\times n</math> 阶的矩阵<math>A</math>使得<math>(A_{ij})=B(e_{i},e_{j})</math>。当<math>n\times 1</math>
的矩阵<math>x</math>和<math>y</math>表示向量<math>u</math>及<math>v</math>时，双线性形式<math>B</math>可表示为:
:<math>B(u,v) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bv} </math>
考虑另一组基 <math>C'=\begin{bmatrix}e'_{1} & \cdots & e'_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_{1} & \cdots & e_{n}\end{bmatrix}S</math> ，其中''S''是一个可逆的<math>n\times n</math> 阶矩阵（[[基变更|基底转换]]矩阵），则双线性形式在<math>C'</math>下的矩阵<math>A'</math>的形式为：
:<math>A' =S^{T}\cdot A\cdot S</math>

==对偶空间映射==

<math>\textbf{V}</math>的每一個雙線性形式<math>B</math>都定義了一對由<math>V</math>射到它的[[对偶空间]]<math>V^*</math>的線性函数。
定义<math>B_1,B_2\colon V \to V^*</math> ：
:<math>B_1(v)(w) = B(v,w) \,</math>
:<math>B_2(v)(w) = B(w,v) \,</math>

常常記作：
:<math>B_1(v) = B(v,{-}) \,</math>
:<math>B_2(v) = B({-},v) \,</math>

這裡的(–)是放[[变量]]的位置。

如果<math>V</math>是有限维空间的话，<math>V</math>和它的'''雙对偶空間'''<math>V^{**}</math>是同构的，这时<math>B_2</math>是<math>B_1</math>的轉置映射（如果<math>V</math>是无限维空间，<math>B_2</math>限制在<math>V</math>在<math>V^{**}</math>的像下的部分是<math>B_1</math>的轉置映射）。 定義<math>B</math>的轉置映射為雙線性形式：
:<math>B^*(v,w) = B(w,v). \,</math>

如果<math>V</math>是有限维空间，<math>B_1</math>及<math>B_2</math>的秩相等。如果他们的秩等于<math>V</math>的維数的话，<math>B_1</math>和<math>B_2</math>就是由<math>V</math>到<math>V^*</math>的同构映射（显然<math>B_1</math>是同构当且仅当<math>B_2</math>是同构），此时，''<math>B</math>''是'''非退化'''的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：''<math>B</math>''是'''非退化'''的当且仅当
:<math>(\forall w,B(v,w)=0) \Rightarrow v=0.</math>

==镜像對稱性和正交性==

雙線性形式<math>B: V\times V\rightarrow F</math>是'''镜像對稱'''的当且仅当:
:<math>B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0</math>

:有了镜像對稱性，就可以定义[[正交]]：两个向量<math>v</math>和<math>w</math>关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当：
:<math>B(v,w)=0 \,</math> 。
:一个双线性形式的'''根'''是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为<math>x</math>的向量<math>v</math>属于双线性形式的'''根'''当且仅当<math>A x= 0  \,</math>（等价于<math>x^{T} A=0 \,</math>），根一般是<math>V</math>的子空间，
当<math>A</math>是非奇异矩阵，即当<math>B</math>是非退化时，根都是零子空间<math>\{0\}</math>。

设<math>W</math>是一个子空间，定义<math>W^{\perp}=\{v| B(v,w)=0\ \forall w\in W\}</math>。

当<math>B</math>是非退化时，映射<math>W\rightarrow W^{\perp}</math>是双射，所以<math>W^{\perp}</math>的维数等于<math>\dim (V)-\dim (W)</math>。

可以证明，雙線性形式<math>B</math>是'''镜像對稱'''的当且仅当它是以下两者之一：
*'''[[对称双线性形式|對稱]]'''的：<math>B(v,w)=B(w,v) \,</math> <math>\forall v,w\in V \,</math>
*'''交替(alternating)'''的：<math>B(v,v)=0 \,</math> <math>\forall v\in V \,</math>

每个交替形式都是'''斜对称'''(skew-symmetric)（或称'''反对称'''(antisymmetric)）的，只要展开

:<math>B(v+w, v+w)</math>就可看出。

当<math>F</math>的[[特征 (代数)|特征]]不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当<math>\text{char}(F)=2</math>时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在''F''的[[特征 (代数)|特征]]不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当<math>B_1,B_2\colon V \to V^*</math> 相等，是旋钮对称的当且仅当<math>B_1=-B_2</math>。<math>\text{char}(F)\neq 2</math>时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：
:<math>B^{\pm} = {1\over 2}(B \pm B^*)</math>
其中<math>B^*</math>是<math>B</math>的转置映射。

==不同空間的推廣==
這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

:<math>B: V \times W \rightarrow F</math>。

此時仍有從<math>V</math>到<math>W</math>的對偶、及從<math>W</math>到<math>V</math>的對偶的映射。當<math>V</math>, <math>W</math>皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下<math>B</math>稱作'''完美配對'''。

==張量積關係==
由[[張量積]]的[[泛性質]]，<math>V</math> 上的雙線性形式一一對映至線性映射 <math>V \otimes V \rightarrow F</math>：若 <math>B</math> 是 <math>V</math> 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出
:<math>v\otimes w\mapsto B(v,w).</math>
所有從 <math>V \otimes V</math> 到 <math>F</math> 的線性映射構成 <math>V \otimes V</math> 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：
:<math>(V\otimes V)^{*} \cong V^{*}\otimes V^{*}.</math>
同理，對稱雙線性形式可想成二次[[對稱冪]] <math>S^2 V^*</math>的元素，而交代雙線性形式則可想成二次[[外冪]]<math>\Lambda ^2 V^*</math>的元素。

==參见==

*[[双线性映射]]
*[[多线性映射]]
*[[二次方程式]]
*[[半双线性形式]]

==外部链接==
*{{planetmath reference|id=1612|title=Bilinear form|urlname=bilinearform}}

{{泛函分析}}

{{DEFAULTSORT:S}}
[[Category:双线性形式|S]]
[[Category:抽象代数]]
[[Category:線性代數]]
[[Category:多重线性代数]]