查看“︁雙精度浮點數”︁的源代码

{{expand|time=2007-09-26T20:17:13Z}}
{{noteTA
|G1=IT
}}
{{Floating-point}}

'''雙精度浮點數'''（{{Lang-en|Double-precision floating-point}}）是计算机使用的一種[[資料型別]]。比起[[單精度浮點數]]僅有 32 位元（4字节），雙精度浮點數使用 64 位元（8字节） 來儲存一個浮點數<ref>{{cite book|author=Stanley B. Lippman, Josée Lajoie, Barbara E. Moo|title=《C++ Primer. fifth edition 中文版》|year=2020|publisher=碁峰資訊|isbn=978-986-502-172-6|pages=第33頁}}</ref>。
它可以表示二進位制的53-{位}-[[有效數字]]，其可以表示的数字的绝对值范围为<math>[ 2^{-1024} , 2^{1024} ]</math>。

== 格式 ==

* -{sign bit}-（符號）：用來表示正負號
* -{exponent}-（指數）：用來表示次方數
* -{mantissa}-（尾數）：用來表示精確度

[[File:IEEE_754_Double_Floating_Point_Format.svg]]

===符号===
0代表數值為正，1代表數值為負。

===指數===
共有11個位元 ， 使用「{{le|指數偏移|Exponent bias|偏移表示法}}」，
有2個例外分別為 
#「11個位元皆為0」
#「11個位元皆為1」

並且以1023為偏移標準，表示實際指數為0，因此指數範圍為 -1022 到 +1023：

指數 <code>000<sub>16</sub></code> 和 <code>7ff<sub>16</sub></code> 具有特殊意義：

<code>00000000000<sub>2</sub></code> = <code>000<sub>16</sub></code>當尾數為0時為[[-0|±0]]，尾數不為0時為[[IEEE 754#非规约形式的浮点数 |非正規形式的浮點數]]。

<code>11111111111<sub>2</sub></code> = <code>7ff<sub>16</sub></code>當尾數為0時為∞，尾數不為0時為[[NaN]]。

===尾數===
在[[二進位]]的「[[科學記號]]」，數字被表示為：

<math>\text{1.mantissa} \times \text{2}^\text{exponent}</math>

二進位的「科學記號」（a×2<sup>n</sup>）的a的範圍是大於等於1而小於2，例如：

* 二進位制的  <math>\text{11.101} \times \text{2}^\text{1001}</math> 可以規格化為 <math>\text{1.1101} \times \text{2}^\text{1010}</math>，儲存時尾数只需要儲存1101即可。
* 二進位制的  <math>\text{0.00110011} \times \text{2}^{-1001}</math> 可以規格化為 <math>\text{1.10011} \times \text{2}^{-1100}</math>，儲存時尾數只需要儲存10011即可。

===小結===
根據以上的敘述，一個雙精度浮點數所代表的數值為：

<math>(-1)^{\text{sign}} \times 2^{\text{exponent}} \times 1.\text{mantissa}</math>

== 例子 ==
{| style="background-color: #f8f9fa; margin: 1em 0; border: 1px solid #eaecf0;"
|-
| <code>0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 3FF0 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>0</sup> × 1 = 1
|-
| <code>0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000001<sub>2</sub></code> ≙ 3FF0 0000 0000 0001<sub>16</sub> ≙ +2<sup>0</sup> × (1 + 2<sup>−52</sup>) ≈ 1.0000000000000002, the smallest number > 1
|-
| <code>0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000010<sub>2</sub></code> ≙ 3FF0 0000 0000 0002<sub>16</sub> ≙ +2<sup>0</sup> × (1 + 2<sup>−51</sup>) ≈ 1.0000000000000004
|-
| <code>0 10000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 4000 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>1</sup> × 1 = 2
|-
| <code>1 10000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ C000 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ −2<sup>1</sup> × 1 = −2
|}

{| style="background-color: #f8f9fa; margin: 1em 0; border: 1px solid #eaecf0;"
|-
| <code>0 10000000000 1000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 4008 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>1</sup> × 1.1<sub>2</sub> = 11<sub>2</sub> = 3
|-
| <code>0 10000000001 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 4010 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>2</sup> × 1 = 100<sub>2</sub> = 4
|-
| <code>0 10000000001 0100000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 4014 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>2</sup> × 1.01<sub>2</sub> = 101<sub>2</sub> = 5
|-
| <code>0 10000000001 1000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 4018 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>2</sup> × 1.1<sub>2</sub> = 110<sub>2</sub> = 6
|-
| <code>0 10000000011 0111000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 4037 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>4</sup> × 1.0111<sub>2</sub> = 10111<sub>2</sub> = 23
|-
| <code>0 01111111000 1000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 3F88 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>−7</sup> × 1.1<sub>2</sub> = 0.00000011<sub>2</sub> = 0.01171875 (3/256)
|}
{| style="background-color: #f8f9fa; margin: 1em 0; border: 1px solid #eaecf0;"
|- style="vertical-align: top;"
| <code>0 00000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000001<sub>2</sub></code> ≙ 0000 0000 0000 0001<sub>16</sub> ≙ +2<sup>−1022</sup> × 2<sup>−52</sup> = 2<sup>−1074</sup> <br/> ≈ 4.9406564584124654 × 10<sup>−324</sup> (Min. subnormal positive double)
|- style="vertical-align: top;"
| <code>0 00000000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111<sub>2</sub></code> ≙ 000F FFFF FFFF FFFF<sub>16</sub> ≙ +2<sup>−1022</sup> × (1 − 2<sup>−52</sup>) <br/> ≈ 2.2250738585072009 × 10<sup>−308</sup> (Max. subnormal double)
|- style="vertical-align: top;"
| <code>0 00000000001 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 0010 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +2<sup>−1022</sup> × 1 <br/> ≈ 2.2250738585072014 × 10<sup>−308</sup> (Min. normal positive double)
|- style="vertical-align: top;"
| <code>0 11111111110 1111111111111111111111111111111111111111111111111111<sub>2</sub></code> ≙ 7FEF FFFF FFFF FFFF<sub>16</sub> ≙ +2<sup>1023</sup> × (1 + (1 − 2<sup>−52</sup>)) <br/> ≈ 1.7976931348623157 × 10<sup>308</sup> (Max. Double)
|}

{| style="background-color: #f8f9fa; margin: 1em 0; border: 1px solid #eaecf0;"
|-
| <code>0 00000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 0000 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +0
|-
| <code>1 00000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 8000 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ −0
|-
| <code>0 11111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ 7FF0 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ +∞ (positive infinity)
|-
| <code>1 11111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000<sub>2</sub></code> ≙ FFF0 0000 0000 0000<sub>16</sub> ≙ −∞ (negative infinity)
|-
| <code>0 11111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000001<sub>2</sub></code> ≙ 7FF0 0000 0000 0001<sub>16</sub> ≙ NaN (sNaN on most processors, such as x86 and ARM)
|-
| <code>0 11111111111 1000000000000000000000000000000000000000000000000001<sub>2</sub></code> ≙ 7FF8 0000 0000 0001<sub>16</sub> ≙ NaN (qNaN on most processors, such as x86 and ARM)
|-
| <code>0 11111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111<sub>2</sub></code> ≙ 7FFF FFFF FFFF FFFF<sub>16</sub> ≙ NaN (an alternative encoding of NaN)
|}

{| style="background-color: #f8f9fa; margin: 1em 0; border: 1px solid #eaecf0;"
|-
| <code>0 01111111101 0101010101010101010101010101010101010101010101010101<sub>2</sub></code> <br/> = <code>3fd5 5555 5555 5555<sub>16</sub></code> ≙ +2<sup>−2</sup> × (1 + 2<sup>−2</sup> + 2<sup>−4</sup> + ... + 2<sup>−52</sup>) <br/> ≈ <sup>1</sup>/<sub>3</sub>
|}

{| style="background-color: #f8f9fa; margin: 1em 0; border: 1px solid #eaecf0;"
|-
| <code>0 10000000000 1001001000011111101101010100010001000010110100011000<sub>2</sub></code> <br/> = <code>4009 21fb 5444 2d18<sub>16</sub></code> ≈ pi
|}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 參閱 ==
* [[IEEE 754|IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）]]
* [[浮点数]]

{{数据类型}}

[[Category:数据类型]]
[[Category:二进制算术]]
[[Category:計算機算術]]