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[[File:Apollonian_circles.svg|thumb|right|350px|雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 <math>\sigma</math>-等值曲線，藍色圓圈則是 <math>\tau</math>-等值曲線。]]

'''雙極圓柱坐標系'''（{{lang-en|Bipolar cylindrical coordinates}}）是一種三維[[正交坐標系]]。往 z-軸方向延伸二維的[[雙極坐標系]] ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個[[焦點]] <math>F_{1}</math> 與 <math>F_{2}</math> ，其[[直角坐標]] <math>(x,\ y)</math> 分別設定為 <math>( - a,\ 0)</math> 與 <math>(a,\ 0)</math> 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線，<math>L_{1}</math> 與 <math>L_{2}</math> ，稱為'''焦線'''。

==基本定義==
雙極圓柱坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> 通常定義為
:<math>x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}</math> 、
:<math>y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}</math> 、
:<math>z = z</math> ；

其中，點 <math>P</math> 的 <math>\sigma</math> 坐標等於 <math>\angle F_{1} P F_{2}</math> 的弧度，<math>\tau</math> 坐標等於 <math>d_1=F_1 P</math> 與 <math>d_2=F_2 P</math> 的比例的[[自然對數]]
:<math>\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}</math>。

注意到焦線 <math>F_1</math> 與 <math>F_2</math> 的坐標分別為 <math>x= - a</math> 與 <math>x=a</math> 。

==坐標曲面==
[[File:Bipolar coordinates.png|thumb|right|280px|雙極坐標的幾何詮釋。 <math>\overline{F_1 P}</math> 與 <math>\overline{F_2 P}</math> 的夾角 <math>\angle F_{1} P F_{2}</math> 的弧度是 <math>\sigma</math> 。<math>F_1 P</math> 與 <math>F_2 P</math> 的比例的[[自然對數]]是 <math>\tau</math> 。<math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。]]
不同 <math>\sigma</math> 的[[坐標曲面]]是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 <math>L_1</math> 與 <math>L_2</math> 的圓柱面：
:<math>x^{2} +( y - a \cot \sigma )^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}</math> 。

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 <math>\sigma</math> 的圓柱面的圓心線都在 <math>y>0</math> 半空間；而負值 <math>\sigma</math> 的圓柱面的圓心線則在 <math>y<0</math> 半空間。當絕對值 <math>\left| \sigma \right|</math> 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，<math>\left| \sigma \right|</math> 達到最大值 <math>\pi/2</math> 。

不同 <math>\tau</math> 的[[坐標曲面]]是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為
:<math>y^{2} +\left( x - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}</math> 。

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 <math>\tau</math> 的圓柱面在 <math>x>0</math> 半空間；而負值 <math>\tau</math> 的圓柱面在 <math>x<0</math> 半空間。 <math>\tau=0</math> 平面則與 yz-平面同平面。當 <math>\tau</math> 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

===逆變換===
[[File:Bipolar sigma isosurfaces.png|thumb|right|280px]]
[[File:Bipolar tau isosurfaces.png|thumb|right|280px]]
雙極圓柱坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> 可以用直角坐標 <math>(x,\ y,\ z)</math> 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是
:<math>d_{1}^{2} = (x + a)^{2} + y^{2}</math> 、
:<math>d_{2}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}</math> 。

<math>\tau</math> 是 <math>d_{1}</math> 與 <math>d_{2}</math> 的比例的[[自然對數]]：
:<math>\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}</math> 。

<math>\angle F_1PF_2</math> 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 <math>\overline{F_1 P}</math> 與 <math>\overline{F_2 P}</math> 的夾角。這夾角的弧度是 <math>\sigma</math> 。用[[餘弦定理]]來計算：
:<math>\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}</math> 。

z-坐標的公式不變：
:<math>z=z</math> 。

==標度因子==
雙極圓柱坐標 <math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的標度因子相等；而 <math>z</math> 的標度因子是 1 ：
:<math>h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}</math> 、
:<math>h_{z}=1</math> 。

所以，無窮小體積元素等於
:<math>dV = \frac{a^{2}}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2}} d\sigma d\tau dz
</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2}} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2}
\left( 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} 
\right) + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}</math> 。 

其它微分算子，例如 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> 與 <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入[[正交坐標系]]的一般方程式內。

==應用==
雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像[[拉普拉斯方程]]或[[亥姆霍茲方程]]這類的[[偏微分方程式]]。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許[[分離變數法]]的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱[[導體]]，請問其周圍的[[電場]]為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

==參閱==
{{正交坐標系}}

==參考文獻==
* {{cite book | author = Margenau H, Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | publisher = D. van Nostrand | location = New York |  pages = pp. 187–190 }}
* {{cite book | author = Korn GA, Korn TM |date = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | id =  ASIN B0000CKZX7 | pages = p. 182}}
* {{cite book | author = Moon P, Spencer DE | date = 1988 | chapter = Conical Coordinates (r, θ, λ) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = corrected 2nd ed., 3rd print ed. | publisher = Springer-Verlag | location = New York | pages = unknown | isbn = 978-0387184302}}

[[Category:坐標系|S]]