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{{NoteTA |G1=Math}}
{{unreferenced|time=2020-06-09T09:06:56+00:00}}
{{Numbers}}
{|class="wikitable" align="right" style="text-align:center"
|+雙曲複數乘法表
|-
!width=15|×
!width=15|1
!width=15|''j''
|-
!1
|1
|''j''
|-
!''j''
|''j''
|1
|}
'''雙曲複數'''（{{lang-en|hyperbolic numbers}}或{{lang|en|Split-complex number}}），是異於[[复数 (数学)|複數]]而對[[實數]]所做的推廣。

==定義==
考慮數<math>z=x+jy</math>，其中<math>x,y</math>是[[實數]]，而量<math>j</math>不是實數，但<math>j^2</math>是實數。

選取<math>j^2=-1</math>，得到一般複數。取<math>+1</math>的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的[[加法]]和[[乘法]]如下，使之符合[[交換律]]、[[結合律]]和[[分配律]]：
: <math>(x+jy) + (u+jv) = (x+u) + j(y+v)</math>
: <math>(x+jy)(u+jv) = (x+jy)(u)+(x+jy)(jv) = xu+jyu+jxv+j^2 yv = (xu+yv) + j(xv+yu)</math>

===共軛、範數===

對於<math>z=x+jy</math>，其共軛值<math>z^*=x-jy</math>。對於任何雙曲複數<math>z,w</math>，
: <math>(z+w)^* = z^* + w^*</math>
: <math>(zw)^* = z^* w^*</math>
: <math>(z^*)^* = z</math>

可見它是[[自同構]]的。

定義[[內積]]為 <math>\langle z, w \rangle = Re(zw^*) = Re(zw^*) = xu-yv</math> 。若<math> \langle z, w \rangle = 0</math> ，說<math>z,w</math>（雙曲）正交。

雙曲複數的[[平方範數]]就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：
: <math>\lVert z \rVert = \langle z, z \rangle = z z^* = z^* z = x^2 - y^2</math>。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：<math>\lVert zw \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert </math>。

===除法===
除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

<math>z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{z^*}{z z^*} = \frac{z^*}{\lVert z \lVert}</math>

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為<math>k(1 \pm j)</math>，其中<math>k</math>是實數。

===基===
雙曲複數的[[冪等]]元有：

列方程<math>(x+jy)^2 = (x^2 + y^2) + 2xyj</math>。有四個解：<math>1,0,s=(1-j)/2,s^*=(1+j)/2</math>。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的[[基 (線性代數)|基]]。<math>z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^*</math> 。

若將<math>z=ae+be^*</math>表示成<math>(a,b)</math>，雙曲複數的乘法可表示成<math>(a,b)(c,d)=(ac,bd)</math> 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為<math>(a,b)^* = (b,a)</math>，範數<math>\lVert (a,b) \rVert = ab</math>。

==幾何==
有閔可夫斯基內積的二維實[[向量空間]]稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為'''R'''<sup>1,1</sup>。正如[[欧几里得几何|歐几里得平面]]'''R'''<sup>2</sup>的幾何學可以複數表示，[[閔可夫斯基空間]]的幾何學可以雙曲複數表示。

在'''R'''，對於非零的<math>a</math>，點集 <math>\{z : \lVert z \lVert = a^2 \}</math> 是[[雙曲線]]。左邊和右邊的會經過<math>a</math>和<math>-a</math>。<math>a=1</math>稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是<math>\{z : \lVert z \lVert = -a^2 \}</math> ，會分別經過<math>ja</math>和<math>-ja</math>。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條[[漸近線]] <math>\{z : \lVert z \lVert = 0 \}</math> 分開。

歐拉公式的相應版本是<math>e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)</math>。

==歷史==
1848年James Cockle提出了[[雙複數|双复数]]。1882年[[威廉·金頓·克利福德]]以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述[[狹義相對論]]的[[勞侖茲變換]]的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由[[雙曲旋轉]]表達。

{{數的系統}}

[[Category:超複数|S]]
[[Category:線性代數|S]]