查看“︁雙曲函數恆等式”︁的源代码

[[File:Hyperbola-trig.svg|400x268px|right|thumb|[[雙曲扇形]]a的很多[[雙曲函数]]可以在几何上依据以''O''为中心的雙曲線来构造。]]
在[[数学]]中，'''雙曲函數恆等式'''是对出现的变量的所有值都为[[實數|實]]的涉及到[[雙曲函數]]的等式。这些[[恒等式]]在表达式中有些雙曲函數需要简化的时候是很有用的。雙曲函數的恆等式有的與[[三角恆等式]]類似。就如同[[三角函數]]，他有一个重要应用是非雙曲函數的[[积分]]：一个常用技巧是首先使用[[换元积分法]]，規則與[[三角换元法|使用三角函数的代换规则]]類似，则通过雙曲函數恆等式可简化结果的积分。

== 符号 ==
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
!
!colspan="2"|函数
!colspan="2"|倒數函数
|-
!
!全寫
!簡寫
!全寫
!簡寫
|-
![[函数]] 
|hyperbolic sine 
|sinh
|hyperbolic cosecant 
|csch
|-
![[反函数]]  
|inverse hyperbolic sine 
|arcsinh
|inverse hyperbolic cosecant
|arccsch
|-
![[函数]] 
|hyperbolic cosine 
|cosh
|hyperbolic secant 
|sech
|-
![[反函数]]
|inverse hyperbolic cosine 
|arccosh
|inverse hyperbolic secant 
|arcsech
|-
![[函数]] 
|hyperbolic tangent 
|tanh
|hyperbolic cotangent 
|coth

|-
![[反函数]]
|inverse hyperbolic tangent 
|arctanh
|inverse hyperbolic cotangent 
|arccoth
|}

== 基本關係 ==
[[File:sinh cosh tanh.svg|256px|thumb|<font color=#b30000>sinh</font>, <font color=#00b300>cosh</font> 和 <font color=#0000b3>tanh</font>]]
[[File:csch sech coth.svg|256px|thumb|<font color=#b30000>csch</font>, <font color=#00b300>sech</font> 和 <font color=#0000b3>coth</font>]]
雙曲函數基本恒等式如下：
{| class=wikitable
|-
| <math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,</math>
|-
| <math>\tanh x \cdot \coth x \, = 1</math>
|-
| <math>1\, - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x</math>
|-
| <math>\coth^2 x - 1\, = \operatorname{csch}^2 x</math>
|}
*<math>\sinh x = {{e^x  - e^{ - x} } \over 2}</math>
*<math>\cosh x = {{e^x  + e^{ - x} } \over 2}</math>
*<math>\tanh x = {{\sinh x} \over {\cosh x}}</math>
*<math>\coth x = {1 \over {\tanh x}}</math>
*<math>{\mathop{\rm sech}} x = {1 \over {\cosh x}}</math>
*<math>{\mathop{\rm csch}} x = {1 \over {\sinh x}}</math>

就如同[[三角函數]]，由上面的平方關係加上雙曲函數的基本定義，可以導出下面的表格，即每個雙曲函數都可以用其他五個表達。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号）
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
! 函數
! sinh
! cosh
! tanh
! coth
! sech
! csch
|-
! <math>\sinh x </math>
| <math> \sinh x\ </math>
| <math> \sgn x \sqrt{\cosh^2 x -1} </math>
| <math> \frac{\tanh x}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}} </math>
| <math> \frac{\sgn x}{\sqrt{\coth^2 x -1}} </math>
| <math> \sgn(x)\frac{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}}{\operatorname{sech}(x)} </math>
| <math> \frac{1}{\operatorname{csch}(x)} </math>
|-
! <math>\cosh x </math>
| <math> \sqrt{1 + \sinh^2 x} </math>
| <math> \cosh x\ </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}} </math>
| <math> \, \frac{\left|\coth(x)\right|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}} </math>
| <math> \, \frac{1}{\operatorname{sech}(x)} </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left|\operatorname{csch}(x)\right|} </math>
|-
! <math>\tanh x </math>
| <math> \frac{\sinh x}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}} </math>
| <math> \frac{\sgn x\sqrt{\cosh^2 x -1}}{\cosh x} </math>
| <math> \tanh x\ </math>
| <math> \frac{1}{\coth x} </math>
| <math> \,\sgn(x) \sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)} </math>
| <math> \,\frac{\sgn(x)}{ \sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}} </math>
|-
! <math>\coth x </math>
| <math> {\sqrt{1 + \sinh^2 x} \over \sinh x} </math>
| <math> {\cosh x \over \sgn x\sqrt{\cosh^2 x -1}} </math>
| <math> {1 \over \tanh x} </math>
| <math> \coth x\ </math>
| <math> \,\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}} </math>
| <math> \,\sgn(x) \sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)} </math>
|-
! <math>\operatorname{sech} x </math>
| <math> {1 \over \sqrt{1 + \sinh^2 x}} </math>
| <math> {1 \over \cosh \theta} </math>
| <math> \sqrt{1 - \tanh^2 x} </math>
| <math> \,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left|\coth(x)\right|} </math>
| <math>\operatorname{sech} x\ </math>
| <math> \,\frac{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}} </math>
|-
! <math>\operatorname{csch} x </math>
| <math> {1 \over \sinh x} </math>
| <math> \frac{\sgn x }{\sqrt{\cosh^2 x -1}} </math>
| <math> \frac{\sqrt{1 - \tanh^2 x}}{\tanh x} </math>
| <math> \, \sgn(x)\sqrt{\coth^2(x)- 1} </math>
| <math> \, \sgn(x)\frac{\operatorname{sech}(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}} </math>
| <math>\operatorname{csch} x\ </math>
|}
=== 其他函數的基本關係 ===
[[三角函數]]還有[[正矢]]、[[餘矢]]、[[半正矢]]、[[半餘矢]]、[[外正割]]、[[外餘割]]等函數，利用他們的定義也可以導出[[雙曲函數]]。

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
|-
! 名稱
! 函數
! 值 
|-
|  [[雙曲函數|雙曲]][[正矢]], hyperbolic versine 
|| <math>\operatorname{versinh}(x)</math><br /><math>\operatorname{vsnh}(x)</math>
|| <math>\cosh x -1</math>
|-
|  [[雙曲函數|雙曲]][[餘矢]], hyperbolic coversine
|| <math>\operatorname{coversinh}(x)</math><br /><math>\operatorname{cvsh}(x)</math>
|| <math>\sinh x -1</math>
|-
|  [[雙曲函數|雙曲]][[半正矢]] , hyperbolic haversine
|| <math>\operatorname{haversinh}(x)</math>
|| <math>\frac{\operatorname{versinh}(x)}{2}</math>
|-
|  [[雙曲函數|雙曲]][[半餘矢]] , hyperbolic hacoversine
|| <math>\operatorname{hacoversinh}(x)</math>
|| <math>\frac{\operatorname{cvsh}(x)}{2}</math>
|-
|  [[雙曲函數|雙曲]][[外正割]] , hyperbolic exsecant
|| <math>\operatorname{exsech}(x)</math>
|| <math>1 - \operatorname{sech}(x)</math>
|-
|  [[雙曲函數|雙曲]][[外餘割]] , hyperbolic excosecant
|  <math>\operatorname{excsch}(x)</math>
|  <math>1 - \operatorname{csch}(x)</math>
|}

== 和角公式 ==
:<math>\sinh (x+y)\ = \sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,</math>
:<math>\sinh (x-y)\ = \sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\,</math>
:<math>\cosh (x+y)\ = \cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,</math>
:<math>\cosh (x-y)\ = \cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\,</math>
:<math>\tanh (x+y)\ = \frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}\,</math>
:<math>\tanh (x-y)\ = \frac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}\,</math>

== 和差化積公式 ==
:<math>\sinh x +\sinh y \ = 2\sinh\frac{x+y}{2}\cosh\frac{x-y}{2}\,</math>
:<math>\sinh x -\sinh y \ = 2\cosh\frac{x+y}{2}\sinh\frac{x-y}{2}\,</math>
:<math>\cosh x +\cosh y \ = 2\cosh\frac{x+y}{2}\cosh\frac{x-y}{2}\,</math>
:<math>\cosh x -\cosh y \ = 2\sinh\frac{x+y}{2}\sinh\frac{x-y}{2}\,</math>
:<math>\tanh x +\tanh y \ = \frac{\sinh (x+y)}{\cosh x\cosh y}\,</math>
:<math>\tanh x -\tanh y \ = \frac{\sinh (x-y)}{\cosh x\cosh y}\,</math>

== 積化和差公式 ==
:<math>\sinh x\sinh y \ = \frac{\cosh (x+y)-\cosh(x-y)}{2}\,</math>
:<math>\cosh x\cosh y \ = \frac{\cosh (x+y)+\cosh(x-y)}{2}\,</math>
:<math>\sinh x\cosh y \ = \frac{\sinh (x+y)+\sinh(x-y)}{2}\,</math>

== 倍角公式 ==
*二倍角公式：
:<math>\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,</math>
:<math>\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,</math>
:<math>\tanh 2x\ = \frac{2\tanh x}{1+\tanh^{2}x} \,</math>

*三倍角公式：
:<math>\sinh 3x\ = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x </math>
:<math>\cosh 3x\ = 4 \cosh^3 x - 3 \cosh x </math>

== 半形公式 ==
:<math>\sinh\frac{x}{2}\ =\sgn x\sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}</math>
:<math>\cosh\frac{x}{2}\ =\sqrt{\frac{\cosh x + 1}{2}}</math> 
:<math>\tanh\frac{x}{2}\ =\frac{\cosh x-1}{\sinh x}\ =\frac{\sinh x}{1+\cosh x} \,</math>

== 幂简约公式 ==
:<math>\sinh^{2}x=\frac{\cosh 2x -1}{2}\,</math>
:<math>\cosh^{2}x=\frac{\cosh 2x +1}{2}\,</math>
:<math>\tanh^{2}x=\frac{\cosh 2x -1}{\cosh 2x +1}\,</math>
== 雙曲正切半形公式 ==
:<math>\sinh x=\frac{2\tanh\frac{x}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{x}{2}}</math>
:<math>\cosh x=\frac{1+\tanh^{2}\frac{x}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{x}{2}}</math>
:<math>\tanh x=\frac{2\tanh\frac{x}{2}}{1+\tanh^{2}\frac{x}{2}}</math>
==泰勒展開式==
:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>
:<math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>
:<math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi </math> ([[罗朗级数]])
:<math>\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>
:<math>\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi </math> ([[罗朗级数]])
其中
:<math>B_n \,</math> 是第n項 [[伯努利數]]
:<math>E_n \,</math> 是第n項 [[欧拉數]]
==三角函數與雙曲函數的恆等式==
利用[[三角恒等式#指数定义|三角恒等式的指數定義]]和{{tsl|en|Hyperbolic_function#Hyperbolic_functions_for_complex_numbers|雙曲函數的指數定義}}即可求出下列恆等式:

<math>e^{i x} = \cos x + i \;\sin x \qquad , \; e^{-i x} = \cos x - i \;\sin x</math>

<math>e^x = \cosh x + \sinh x\! \qquad , \; e^{-x} = \cosh x - \sinh x \!</math>

所以

<math>\cosh ix = \tfrac12(e^{i x} + e^{-i x}) = \cos x</math>

<math>\sinh ix = \tfrac12(e^{i x} - e^{-i x}) = i \sin x</math>

下表列出部分的[[三角函數]]與[[雙曲函數]]的[[恆等式]]:

{| class=wikitable
![[三角函數]]
![[雙曲函數]]
|-
|<math>\sin \theta =-i\sinh{i\theta}\,</math>
|<math>\sinh{\theta}=i\sin{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\cos{\theta}=\cosh{i\theta}\,</math>
|<math>\cosh{\theta}=\cos{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\tan \theta =\frac{\tanh{i\theta}}{i}\,</math>
|<math>\tanh{\theta}=i\tan{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\cot{\theta}=i\coth{i\theta}\,</math>
|<math>\coth \theta =\frac{\cot{(-i\theta)}}{i}\,</math>
|-
|<math>\sec{\theta}=\operatorname{sech}{\,i\theta}\,</math>
|<math>\operatorname{sech}{\theta}=\sec{(-i\theta)}\,</math>
|-
|<math>\csc{\theta}=i\;\operatorname{csch}{\, i\theta}\,</math>
|<math>\operatorname{csch} \theta =\frac{\csc{(-i\theta)}}{i}\,</math>
|}

*其他恆等式:
:<math>\cosh ix = \tfrac12(e^{i x} + e^{-i x}) = \cos x</math>
:<math>\sinh ix = \tfrac12(e^{i x} - e^{-i x}) = i \sin x</math>
:<math>\cosh(x+iy) = \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \,</math>
:<math>\sinh(x+iy) = \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \,</math>
:<math>\tanh ix = i \tan x \,</math>
:<math>\cosh x = \cos ix \,</math>
:<math>\sinh x = -i \sin ix \,</math>
:<math>\tanh x = -i \tan ix \,</math>
== 參見 ==
*[[三角恆等式|三角函數恆等式]]
*[[雙曲函數]]
*[[雙曲線]]
*[[三角函數]]
*[[三角形]]
== 參考文獻 ==
*數學基本公式手冊 [[九章出版社]] ISBN 957-603-010-2
{{三角函數}}
[[Category:基本特殊函数]]
[[Category:数学恒等式]]