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[[File:5-gon bicentric 02.svg|thumb|一個雙心[[五邊形]]，同時也屬於圓內接五邊形和圓外切五邊形]]
在[[幾何學]]中，'''雙心多邊形'''是指同時存在[[内切圆]]和[[外接圓]]的[[多邊形]]，換句話說即存在一個[[圓]]，能使該多邊形的每條邊與之[[相切]]；也存在另一個圓，能使該多邊形的[[頂點 (幾何)|頂點]]皆落在該圓上。

雙心多邊形是一個自身對偶多邊形，即其對偶多邊形為自己本身，且同時屬於[[圓內接多邊形]]和[[圓外切多邊形]]。所有三角形和任意邊數的正多邊形都是雙心多邊形。另一方面，具有邊長不相等的矩形不是雙心多邊形，因為沒有[[圓]]可以與所有四個邊[[相切]]。

== 雙心三角形 ==
所有三角形都同時擁有[[内切圆]]和[[外切圓]]，因此所有三角形皆為雙心多邊形<ref>{{citation|title=The Facts on File Geometry Handbook|first=Catherine A.|last=Gorini|publisher=Infobase Publishing|year=2009|isbn=9780816073894|page=17|url=https://books.google.com/books?id=ZnkASIOYJWsC&pg=PA17|accessdate=2018-12-22|archive-date=2016-12-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20161223141126/https://books.google.com/books?id=ZnkASIOYJWsC&pg=PA17|dead-url=no}}.</ref>。
在[[任意三角形]]中，皆可以找到內切圆半徑''r''和[[外切圓]]半徑''R''，且它們存在下列等式：
:<math>\frac{1}{R-x}+\frac{1}{R+x}=\frac{1}{r}</math>
其中，''x''表示內切圆圓心和外切圓圓心的距離，即內心和外心的距離<ref name="imo">{{citation|title=International Mathematical Olympiad: 1976-1990|first=István|last=Reiman|publisher=Anthem Press|year=2005|isbn=9781843312000|pages=170–171|url=https://books.google.com/books?id=xE_qYoJBpf4C&pg=PA170}}.</ref>。這個等式可以視為[[欧拉定理_(几何学)|歐拉三角形公式]]的其中一個版本。

== 雙心四邊形 ==
{{main|雙心四邊形}}
在所有四邊形中，並非所有四邊形都可以同時擁有[[内切圆]]和[[外接圓]]，換句話說並非所有四邊形都是雙心多邊形，而同時擁有内切圆與外接圓的四邊形稱為雙心四邊形。

給定2個圓，其中一個圓位於另一個圓內時，假設大圓半徑為<math>R</math>、小圓半徑為<math>r</math>，若當中存在一個凸四邊形，滿足每條邊與小圓相切、且頂點皆位於大圓上時，則其滿足下列式子，反之亦然。<ref name=Dorrie>{{cite book
|last=Dörrie
|first=Heinrich
|date=1965
|title=100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions
|location=New York
|publisher=Dover
|pages=188–193
|isbn=978-0-486-61348-2}}</ref><ref name="Yiu">Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', [http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeomeryNotes.pdf]{{Dead link|date=2019年5月|bot=InternetArchiveBot|fix-attempted=yes}}, 1998, pp. 158-164.</ref><ref>{{citation |last=Salazar |first=Juan Carlos |title=Fuss's Theorem |journal=Mathematical Gazette |volume=90 (July) |pages=306–307 |year=2006}}.</ref>
:<math>\frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2}</math>
其中，<math>x</math>為兩圓心之距離<ref name="imo"/><ref>{{citation|title=Subjects for mathematical essays|first=Charles|last=Davison|publisher=Macmillan and co., limited|year=1915|page=98|url=https://books.google.com/books?id=Uz0_AQAAIAAJ&pg=PA98|accessdate=2018-12-28|archive-date=2016-12-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20161223134409/https://books.google.com/books?id=Uz0_AQAAIAAJ&pg=PA98|dead-url=no}}.</ref>。則這個四邊形為雙心四邊形。這種性質稱為Fuss定理<ref>{{citation|title=100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution|first=Heinrich|last=Dörrie|publisher=Courier Dover Publications|year=1965|isbn=9780486613482|page=192|url=https://books.google.com/books?id=i4SJwNrYuAUC&pg=PA192|accessdate=2018-12-28|archive-date=2014-06-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20140617234040/http://books.google.com/books?id=i4SJwNrYuAUC&pg=PA192|dead-url=no}}.</ref>。

== 邊數超過4的雙心多邊形 ==
令外接圓圓心為<math>R</math>、內切圓圓心為<math>r</math>、內心與外心距離為<math>x</math>、<math>n</math>為多邊形的邊數，更複雜的雙心多邊形通式為<ref>Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html |date=20201112041006 }}</ref>：
:<math>n=5: \quad r(R-x)=(R+x)\sqrt{(R-r+x)(R-r-x)}+(R+x)\sqrt{2R(R-r-x)} ,</math>
:<math>n=6: \quad 3(R^2-x^2)^4=4r^2(R^2+x^2)(R^2-x^2)^2+16r^4x^2R^2 ,</math>
:<math>n=8: \quad 16p^4q^4(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2q^2)^4 ,</math>

其中<math>p=\frac{R+x}{r}</math>、<math>q=\frac{R-x}{r}</math>。

== 參見 ==
*[[圓內接多邊形]]
*[[圓外切多邊形]]

==參考文獻==
{{refbegin|2}}
{{Reflist}}
{{refend}}

== 外部連結 ==
{{commons category|Bicentric polygon}}
* {{MathWorld|title=Bicentric polygon|urlname=BicentricPolygon}}

{{多邊形}}

[[Category:多邊形]]
[[Category:多邊形類型]]