查看“︁雙代數”︁的源代码

在[[數學]]中，域 <math>K</math> 上的'''雙代數'''是兼具 <math>K</math> 上之[[結合代數]]（具單位元）與[[餘代數]]的結構，而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是[[霍普夫代數]]。

==定義==
相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的[[同態]]，這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態，因為兩者由相同的[[交換圖]]刻画。

由單位圖表的對稱性，也可導出下述事實：如果 <math>B</math> 是雙代數，而且 <math>B</math> 具有良好的[[對偶空間]] <math>B^\vee</math>（例如當 <math>B</math> 維度有限時），則 <math>B^\vee</math> 也帶有自然的雙代數結構。

===圖表===
定義中的相容性由以下交換圖給出：

乘法與餘乘法相容：
:[[File:Bialgebra2.svg|500px|Bialgebra commutative diagrams]]

乘法與餘單位元相容：
:[[File:Bialgebra3.svg|310px|Bialgebra commutative diagrams]] 

餘乘法與單位元相容：
:[[File:Bialgebra4.png|Bialgebra commutative diagrams]]

單位元與餘單位元相容：
:[[File:Bialgebra1.svg|125px|Bialgebra commutative diagrams]] 

在此 <math>\nabla_B: B \otimes_K B \to B</math> 是代數乘法，而 <math>\eta_B: K \to B</math> 是代數之單位元。<math>\Delta_B: B \to B \otimes_K B</math> 是餘代數乘法，而 <math>\epsilon_B: B \to K</math> 是餘代數單位元。<math>\tau_B: B \otimes B \to B \otimes B</math> 定義為 <math>\tau(x \otimes y) = y \otimes x</math>。

===式子===
若以算式具體描述，則相容關係有如下之表示（在此採用省略 <math>\Sigma</math> 之 Sweedler 記法）：

乘法與餘乘法相容：
:<math>(ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)} = a_{(1)}b_{(1)} \otimes a_{(2)}b_{(2)}\, </math>

乘法與餘單位元相容：
:<math>\varepsilon(ab)=\varepsilon(a)\varepsilon(b)\;</math>

餘乘法與單位元相容：
:<math>1_{(1)}\otimes 1_{(2)} = 1 \otimes 1 \,</math>

單位元與餘單位元相容：
:<math>\varepsilon(1)=1.\;</math>

在此我們省略代數乘法之映射 <math>\nabla</math>，而直接以兩項並置表之。同理，單位元 <math>\eta</math> 直接以單位元素 <math>1</math> 表示（對應到 <math>\eta(1)</math>）。

==相關文獻==
* Eiichi Abe, ''Hopf Algebras'' (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

==參見==
* [[霍普夫代數]]
* [[餘代數]]
* [[結合代數]]

[[Category:代數|S]]
[[Category:霍普夫代數|S]]