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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:集膚效應.png|300px|thumb|理想中（圖左）電子在導體中以平均分佈的方式[[電傳導|傳導]]流通，集膚效應（圖右）則是電子集中在導體的近外膚位置上流通，使橫切面的核心部位呈現空泛狀態，進而使電流輸送量減少。]]

'''集膚效應'''（又称'''趋肤效应'''或直譯作'''表皮效應'''，英语：'''Skin effect'''）是指[[导体]]中有[[交流电]]或者[[交变电磁场]]时，导体内部的[[电流]]分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的[[电流密度]]呈[[指數衰減]]，即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向[[垂直]]的横切面来看，导体的中心部分几乎没有电流流过，只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分，所以称为'''集膚效應'''。产生这种效应的原因主要是变化的[[电磁场]]在导体内部产生涡旋电场，与原来的电流相抵消。

==简介==

集肤效应最早在英國應用數學家[[贺拉斯·兰姆]]（Horace Lamb）1883年發表的一份[[论文]]中提及，只限于球壳状的导体。1885年，英國物理學家[[奧利弗·黑維塞|奥利弗·赫维赛德]]（Oliver Heaviside）将其推广到任何形状的导体。集肤效应使得导体的[[电阻]]随着交流电的[[頻率 (物理學)|频率]]增加而增加，并导致导线传输电流时效率减低，耗费金属资源。在[[无线电]]频率的设计、[[微波]]线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。

==理论==

当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时，随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的[[电流密度]]''J''呈[[指數衰減]]
:<math>J= J_0 \exp(-{x \over \delta} )  </math>

其中，<math> J_0 </math>是导体表面的电流密度，<math> x </math>表示电流与导体表面的距离，<math> \delta</math>是一个和导体的[[电阻率]]以及交流电的频率有关的系数，称为'''集肤深度'''（skin depth）。
:<math>\delta=\sqrt{{2\rho}\over{\omega \mu}}</math>

其中：
:ρ =导体的[[电阻率]]
:ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率
:μ = 导体的[[磁导率]] = <math> \mu_0 \cdot \mu_r </math> ，其中<math> \mu_0 </math>是[[真空磁导率]]，<math> \mu_r</math>是导体的[[相对磁导率]]

对于很长的[[圆柱形]]导体，比如[[导线]]来说，如果它的[[直径]]<math> D</math>比<math> \delta</math>大很多的话，它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为<math> \delta</math>的圆柱导体对[[直流电]]的电阻。
:<math>R={{\rho \over \delta}\left({L\over{\pi (D-\delta)}}\right)}\approx{{\rho}\left({L\over{\pi D \delta }}\right)}</math>

其中：
:L=导线的长度
:D=导线直径

具体来说，假设<math>I(r)</math>是从离导线中心''r''处到导线表面的截面上通过的电流，<math>I</math>为截面上的总电流，那么有：
:<math>\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}</math>

其中''Ber''和''Bei''为0阶的[[贝塞尔函数|开尔文-贝塞尔函数]]的相应[[原函数]]（具体见下）。

===圆柱形导体的模型===

考虑一个半径为''a''，长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是時變場，則在圆柱中有频率为''ω''的[[正弦波|正弦]][[交流电|交流]]电流。由[[麦克斯韦方程组]]，

麦克斯韦-法拉第方程：
:<math>
\nabla\times \, \mathbf{E} = - i \, \omega \, \mathbf{B}
</math>

麦克斯韦-安培方程：
:<math>
\nabla\times\, \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}
</math>

其中：
* '''E'''是[[电场强度]]
* '''B'''是[[磁感应强度]]
* '''J'''是[[电流密度]]
*'''μ'''是导体的[[磁导率]]

在导体中，[[欧姆定律]]的微分形式为：
:<math>
\mathbf{J} = \sigma \, \mathbf{E}
</math>

'''σ'''是导体的[[电导率]]。

我们假设导体是均匀的，于是导体各处的'''μ'''和'''σ'''都相同。于是有：
:<math>
\nabla\times\, \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mathbf{B}
</math>

:<math>
\nabla\times\, \mathbf{B} = \mu \, \mathbf{J}
</math>

在[[圆柱坐标系]](''r'', θ, ''z'')（''z''为圆柱导体的轴心）中，设电磁波随''z''轴前进，由对称性，电流密度是一个只和''r''有关的函数：
:<math>
\mathbf{J} = \begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}
</math>

取麦克斯韦-法拉第方程两边的[[旋度]]，就有：
:<math>
\nabla\times \,(\nabla\times \, \mathbf{J})  = - i \, \omega \, \sigma \,( \nabla\times \, \mathbf{B})
</math>

也就是：
:<math>
\nabla \, \mathrm{div} \, \mathbf{J} - \Delta \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J}
</math>

由之前对电流密度的假设，<math>\mathrm{div} \, \mathbf{J} = 0</math>，因此有：
:<math>
\Delta \mathbf{J} = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J}
</math>

在圆柱坐标系中，[[拉普拉斯算子]]<math>\Delta </math>写作：

:<math>
\frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + \frac{1}{r} \, \frac{d\,j}{dr}(r) = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, j(r)
</math>

令<math>k^2 = i \, \omega \, \sigma \, \mu</math>，再将方程两边乘上''r''<sup>2</sup>就得到电流密度应该满足的方程：
:<math>
r^2 \, \frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + r \, \frac{d\,j}{dr}(r) - r^2 \, k^2 \, j(r) = 0
</math>

在进行代换<math>\xi = i \, k \, r</math>后，方程变为一个齐次的[[贝塞尔函数|贝塞尔方程]]：
:<math>
\xi^2 \, \frac{d^2\,j}{d\xi^2}(\xi) + \xi \, \frac{d\,j}{d\xi}(\xi) + \xi^2 \, j(\xi) = 0
</math>

由电流密度在''r'' = 0的连续性，方程的解具有<math>J_0(\xi)</math>的形式，其中''J''<sub>0</sub>是零阶的第一类[[贝塞尔函数]]。于是：
:<math>
j(r) = j_0 \, J_0(i \, k \, r)
</math>

其中''j''<sub>0</sub>是一个[[常数]]，''k''为：
:<math>
k = \sqrt{i} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\delta}
</math>

其中''δ''是集肤深度，<math>\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \, \sigma \, \mu}}</math>，
:<math>
i \, k = \frac{-1+i}{\delta} = e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2}}{\delta}
</math>

最后，电流密度为：
:<math>
\begin{matrix}j(r) &=& j_0 \, J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta})\\
&=& j_0 \, (ber(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) + i \, bei(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}))\end{matrix}
</math>

其中''ber''和''bei''是0阶的[[贝塞尔函数|开尔文-贝塞尔函数]]。

于是通过整个截面的电流总和就是：
:<math>
\begin{matrix}I &=& \int_0^a j(r) \, 2 \, \pi \, r \, dr\\
&=& 2 \, \pi \, j_0 \int_0^a J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) \, r \, dr\\
&=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \int_0^{\sqrt{2} \, a / \delta}(ber(x) + i \, bei(x)) \, x \, dx\end{matrix}
</math>

记''Ber''和''Bei''为相应的[[原函数]]：
:<math>
Ber(x) = \int_0^x ber(x^\prime)\, x^\prime \, dx^\prime \qquad \mbox{ et } \qquad Bei(x) = \int_0^x bei(x^\prime) \, x^\prime \, dx^\prime
</math>

便有如下更简洁的形式：
:<math>
I = \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left(Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})\right)
</math>

我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离''r''处的电流总和：
:<math>
\begin{matrix}I(r)&=& \int_{a-r}^a j(r^\prime) \, 2 \, \pi \, r^\prime \, dr^\prime\\
&=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left( Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})- Ber(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta})] \right)\end{matrix}
</math>

于是有电流的[[分布函数]]：
:<math>\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}</math>

一般来说，在给定的频率下，使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是：
:<math>D_\mathrm{W} = {\frac{200~\mathrm{mm}}{\sqrt{f/\mathrm{Hz}}}}</math>

以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线，交流电阻会受到[[邻近效应]]的影响而显著增大。

==减缓集肤效应的方法==

一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的{{tsl|en|Litz wire|利兹线}}（源自[[德语]]：''Litzendraht''，意为“编织起来的线”）。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法，使得电磁场能够比较均匀地分布，这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后，产生显著集肤效应的频率可以从数千[[赫兹]]提高到数兆[[赫兹]]。利兹线一般应用在高频交流电的传输中，可以同时减缓集肤效应和邻近效应。

高电压大电流的[[輸電系統#架空輸電線路|架空电力线路]]通常使用[[钢芯铝绞线]]，这样能使铝质部分的工作部分温度降低，减低[[电阻率]]，并且由于集肤效应，电阻率较大的钢芯上承载极少的电流，因而无关紧要。

还有将实心导线换成空心导线管，中间补上绝缘材料的方法，这样可以减轻导线的重量。

在传输的频率在[[甚高频]]或[[微波]]级别时，一般会使用[[电镀|镀]][[银]]（已知的除[[超导体]]外最好的导体）的导线，因为这时集肤深度非常的浅，使用更厚的银层已是浪费。

==其它应用==

集肤效应使交流電只通过导体的表面，因此电流只在其表面产生热效应。[[钢铁]]工业中利用集肤效应来为[[钢]]进行[[表面淬火]]，使钢材表面的[[硬度]]增大。

集肤效应也可以描述为：导体中变[[电磁场]]的强度随着进入导体的深度而呈指数递减，因此在[[防晒霜]]中混入导体微粒（一般是[[氧化锌]]和[[氧化钛]]），就能使阳光中的[[紫外线]]（高频[[电磁波]]）的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外，集肤效应也是[[电磁屏蔽]]的方法之一，利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置<ref>{{cite book|author=林漢年|title=《電磁相容分析與設計 : 從PI與SI根因探討》|year=2021|publisher=滄海圖書|isbn=9789865647735|pages=第B-3頁}}</ref>，这也是电梯里手机信号不好的原因。

== 举例 ==
頻率為10 GHz（微波）時各種材料的集膚深度：

{| class="wikitable"
|-
! 導體 !! δ（[[μm]]）
|-
| 鋁  || style="text-align:center;"| 0.80
|-
| 銅  || style="text-align:center;"| 0.65
|-
| 金  || style="text-align:center;"| 0.79
|-
| 銀  || style="text-align:center;"| 0.64
|}
在[[铜]]质导线中，集肤深度和频率的关系大致如下：

{| class="wikitable"
|-
!频率!! δ
|-
|60 Hz || 8.57 mm
|-
|10 kHz || 0.66 mm
|-
|100 kHz || 0.21 mm
|-
|1 MHz || 66 µm
|-
|10 MHz || 21 µm
|}

==参见==
*[[邻近效应]]
*[[麦克斯韦方程组]]
*[[涡旋电场]]
*[[漸逝波]]

== 外部連結 ==
*[http://www.st-andrews.ac.uk/~www_pa/Scots_Guide/audio/skineffect/page1.html Skin Effect and HiFi Cables] {{Wayback|url=http://www.st-andrews.ac.uk/~www_pa/Scots_Guide/audio/skineffect/page1.html |date=20210411012228 }}
*[http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_3/6.html More on the "skin effect"] {{Wayback|url=http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_3/6.html |date=20150426064255 }}

== 相關參考 ==

*[http://group.ednchina.com/250/4713.aspx http://group.ednchina.com/250/4713.aspx] {{Wayback|url=http://group.ednchina.com/250/4713.aspx |date=20110324100121 }}

*William Hart Hayt, ''Engineering Electromagnetics Seventh Edition'', (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
*Paul J. Nahin, ''Oliver Heaviside: Sage in Solitude'', (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
*Terman, F.E. ''Radio Engineers' Handbook'', McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above

[[Category:电子学|J]]
[[Category:物理现象|J]]