查看“︁集合建構式符號”︁的源代码

在[[數學]]裡，'''集合建構式符號'''（{{lang|en|set-builder notation}}）是常用于描述[[集合 (數學)|集合]]的一種記號，這種描述集合的方式一般也稱為'''集合抽象化'''（{{lang|en|set abstraction}}）或{{lang|en|set comprehension}}。一般寫為<math>\{x:P(x)\}</math>或<math>\{x\in S:P(x)\}</math>，分別只在於[[論域]]的不同，前者的[[元素 (數學)|元素]]恰好是那些符合謂詞''P''的集合，而後者的元素除了符合謂詞''P''，還得是''S''的元素。
{{TOC limit}}

== 範例：[[三角形數]]的集合 ==
[[File:AlhazenSummation.png|thumb|340px|[[海什木|海什木（Alhazen）]]的正整數和公式推導。]]
以[[三角形數]]的集合為例。[[三角形數]]有一個規則，它是[[1_+_2_+_3_+_4_+_…|正整數的和]]。

下面的每一個[[等式]]給出了[[三角形數]]集合'''T'''的一個元素：
:<math>1=1</math>
:<math>1+2=3</math>
:<math>1+2+3=6</math>
:<math>1+2+3+4=10</math>
:<math>1+2+3+4+5=15</math>
:<math>1+2+3+4+5+6=21</math>
:<math>\qquad \qquad \quad \vdots</math>
:<math>1+2+3+\ldots+n=S</math>

:其中，'''n'''是[[正整數]]，'''S'''是左式的結果。

於是我們[[歸納]]出一個規則（即公式）：
:<math>1+2+3+\ldots+ n = \frac {n(n+1)}{2}</math>

這個規則可代表集合'''T'''中的元素。於是，集合'''T'''可以簡寫為：
:<math>T = \left\{ S ~\left|~ S=\frac { n(n+1) }{2}, n \in \mathbb{N}^+ \right. \right\}</math>

在上面的簡單範例中，我們將一個繁複的集合表示法，透過一個簡單的規則，重新以簡單的符號來表示這個集合。

== 集合建構式與[[一阶逻辑|一階邏輯]] ==
當一個集合的元素是用某種公式或條件（亦即，一個[[函數]]）所產生，這時候就可以用集合建構式來表示，例如：
* [[奇數和偶數|偶數]]集合 = <math>\{x : x</math>是2的倍數<math>\}</math> 
* [[負數]]集合 = <math>\{x : x</math>是小於0的數<math>\}</math> 

就哲學上來說，這些元素具有某種共同的性質（2的倍數，或是小於0）；在[[一阶逻辑|一階邏輯]]中，這個性質可以使用謂詞來表示，而該集合的一般格式為：
:<math>A = \{x : P(x)\}</math>

以偶數集合為例，其謂詞<math>P = </math>「是2的倍數」。<math>P(x) = </math>「<math>x</math>是2的倍數」，被稱為一個'''命題函數'''。

集合<math>A</math>的元素必定是另一個集合<math>B</math>的元素<math>x</math>，使得<math>P(x)</math>為真（亦即，<math>A</math>是<math>B</math>的一個子集），一般表述為：
:<math>A = \{x : x \in B, P(x)\}</math>或是<math>A = \{x \in B : P(x)\}</math>

在這裡，<math>P</math>是謂詞，<math>x</math>是主詞（<math>B</math>集合中的一個元素），<math>P(x)</math>是一個傳回真假值的'''命題函數'''：
:<math>P\colon B \rightarrow \{ true, false\}</math>

所以，在數學中，謂詞被視為一種[[布尔值函数|布林值函數]]。

在實例中，如果沒有指定<math>B</math>集合，就表示<math>B</math>集合是由謂詞<math>P</math>所給出。

== 集合建構式例句 ==
* [[正整數]]集合可用下列建構式表示：
** <math>\{x: x</math>是大於0的整數<math>\}</math> 
** <math>\{x :  x > 0 \land x \in \mathbb{Z}\}</math>
* [[奇數和偶數|偶數]]集合可用下列建構式表示：
** <math>\{x: x</math>是2的倍數<math>\}</math> 
** <math>\{x :  x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}</math>
* [[負數]]集合可用下列建構式表示：
** <math>\{x ~|~ x</math>是小於0的數<math>\}</math> 
** <math>\{x ~|~ \forall x \in \mathbb{R}, x < 0 \}</math> 
** <math>\{x \in \mathbb{R} ~|~ x < 0 \}</math>
* [[平方數]]集合可用下列建構式表示：
** <math>\{x ~|~ x</math>是某個整數的平方<math>\}</math> 
** <math>\{ x : x = k^2; k \in \mathbb{Z} \}</math>
** <math>\{ x^2 : x \in \mathbb{Z} \}</math>
** <math>\{x \in \mathbb{N}: \exists k \in \mathbb{Z}</math>   s.t.   <math> k^2 = x\}</math>
在這裡，有幾個習慣用法：
* 冒號和[[豎線]]是一樣的，意思是「使得（such that，簡寫為s.t.）」。一般來說，冒號與豎線只使用在最前面，接下來的「使得」都使用別的符號，例如s.t.或是<math>\ni</math>。但是偶爾也會看到這樣的句子，[[奇數和偶數|奇數]]：
:<math>\{ n \in \mathbb{Z} : \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k + 1 \}</math>
:另一個更簡潔的句子可以表達相同的意思：
:<math>\{ 2n + 1 : n \in \mathbb{Z} \}</math>
* 一般來說，<math>\forall</math>是省略不寫的，但是偶爾會看到使用<math>\forall</math>的句子。一個複雜的例句如下，非平方數：
:<math>\{ x \in \mathbb{N} : \forall k \in \mathbb{Z}, k^2 \neq x \}</math>
* 逗號（,）、分號（;）與[[逻辑与|合取（<math>\land</math>）]]的意思是一樣的，都是[[逻辑与|合取（<math>\land</math>）]]。
* 當元素的[[数域|數域]]已經由命題所給出，通常就省略不寫。

== 参见 ==
* [[抽象化 (數學)]]
* [[一阶逻辑|一階邏輯]]
==外部链接==
* [http://math.stackexchange.com/questions/183222/set-builder-notation-is-there-another-symbol-for-such-that StackExchange: Set-builder notation: is there another symbol for“such that”?] {{Wayback|url=http://math.stackexchange.com/questions/183222/set-builder-notation-is-there-another-symbol-for-such-that |date=20200321023735 }}
* [http://math.stackexchange.com/questions/441888/x-px-vs-px-x-when-are-these-set-builder-notations StackExchange: When are these set-builder notations the same and different?] {{Wayback|url=http://math.stackexchange.com/questions/441888/x-px-vs-px-x-when-are-these-set-builder-notations |date=20200321023736 }}
* [http://www.tabvlarasa.de/25/Maunu.php Some Fregean Considerations on Predicates and Their Reference] {{Wayback|url=http://www.tabvlarasa.de/25/Maunu.php |date=20200321023726 }}
[[Category:數學术语]]
[[Category:集合論基本概念]]
[[Category:数学符号]]