查看“︁集合域”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{About|集合代数中的代数|数学分支|代数}}
在[[集合代数]]中，'''域'''，或者'''代数'''，是指一种有序对<math>\,(\Omega,\mathcal{F})\,</math>，其中 <math>\Omega</math> 是[[集合 (数学)|集合]]，<math>\,\mathcal{F}\,</math> 是由集合 <math> \Omega </math> 的一些子集构成的一种[[类_(数学)|集类]]，它满足 <math> \Omega </math> 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。

也可把满足上述条件的集类<math>\,\mathcal{F}\,</math>称为'''域'''或'''代数'''

==定义==

非空集类 <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)</math> 若满足以下条件：

:# <math>\Omega \in \mathcal{F}</math>；
:# <math>\forall A,B\in \mathcal{F},A\cup B\in \mathcal{F} ,A\cap B\in \mathcal{F}</math>(对有限并、有限交封闭)；
:# <math>\forall A\in \mathcal{F},A^{c}\in \mathcal{F}</math>(对补集运算封闭).

则称其为 <math> \Omega </math> 上的一个'''代数'''<ref>{{citebook | author = A.H.施利亚耶夫 | title= 概率（第一卷）（修订和补充第三版） | publisher= 高等教育出版社 | pages = 134 | ISBN = 978-7-04-022059-9}}</ref>。

或者可以把代数定义为有元素 <math> \Omega </math> 和空集、对有限交（或有限并）和余集运算封闭的 <math> \Omega </math> 的子集类<ref name=book1>{{citebook | author = 严加安 | title = 测度论讲义 | url = https://archive.org/details/isbn_9787030134097 | publisher = 科学出版社 | pages = [https://archive.org/details/isbn_9787030134097/page/4 4] | ISBN = 978-7-03-013409-7}}</ref>，这两者是等价的。

==性质==
无论从哪个定义出发，利用[[德摩根定律#形式表示|德摩根定律]]和集合交与并运算的分配律，都可列出代数具有如下性质：空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。

一个代数也一定是一个[[环 (代数)|环]]<ref>{{citebook | author = 程士宏 | title = 测度论与概率论基础 | year = 2004 | url = https://archive.org/details/unknown0000unkn_j6e4 | publisher = 北京大学出版社 | pages = [https://archive.org/details/unknown0000unkn_j6e4/page/5 5] | ISBN = 978-7-301-06345-3}}</ref>。用可列不交并封闭一个代数，将得到一个[[σ-代数]]<ref name=book1/>{{Rp|5}}，而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。

其中用可列不交并封闭一个代数 <math>\mathcal{F}</math> 得到的新集类定义是：

:<math>\mathcal{F}_{\sum\! f}:= 
\left\{ A | A = \sum_{i=1}^n A_{i},A_{i}\in \mathcal{F},i\neq j \Rightarrow A_{i}\cap A_{j} = \emptyset,i,j = 1,2,\cdots \right\}</math>

==其他定义==

* <math>\,\mathcal{F}\,</math> 是 <math> \Omega </math> 的[[幂集]][[布尔代数]]的[[子代数]]。在明确上下文时，亦称 F 为集合域。
* <math> \Omega </math> 的元素称为'''点'''，而 <math>\,\mathcal{F}\,</math> 的元素称为'''复形'''。 

集合域在布尔代数的[[表示理论]]中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。

== 参见 ==
* [[内部代数]]
* {{le|亚历山德罗夫拓扑|Alexandrov topology}}
* [[Stone布尔代数表示定理]]
* {{le|史东对偶性|Stone duality}}
* [[布尔环]]

==参考==

{{reflist}}

* Goldblatt, R., ''Algebraic Polymodal Logic: A Survey'', Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
* Goldblatt, R., ''Varieties of complex algebras'', Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
* {{cite book
 | last = Johnstone
 | first = Peter T.
 | authorlink = 
 | year = 1982
 | title = Stone spaces
 | edition = 3rd edition
 | publisher = Cambridge University Press
 | location = Cambridge
 | id = ISBN 0-521-33779-8
}}
* Naturman, C.A., ''Interior Algebras and Topology'', Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991


[[Category:布尔代数|J]]
[[Category:集合族|J]]
[[Category:测度论]]