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'''集值函数'''（set-valued function），或'''对应'''（correspondence）是一种函数，将一个集合（[[定义域]]）中的元素映射到另一集合的子集。集值函数见于众多数学领域，如[[最优化]]、[[控制理论]]与[[博弈论]]等。

有些文献将集值函数称作多值函数，<ref>{{Cite book |last=Repovš |first=Dušan |url=https://www.worldcat.org/oclc/39739641 |title=Continuous selections of multivalued mappings |date=1998 |publisher=Kluwer Academic |others=Pavel Vladimirovič. Semenov |isbn=0-7923-5277-7 |location=Dordrecht |oclc=39739641}}</ref>但在本文和[[数学分析]]的其他文献中，[[多值函数]]指的是具有[[连续函数|连续性]]的集值函数''f''，也就是说在集合<math>f(x)</math>中选择一个元素，就会在接近''x''的''y''的每个集合<math>f(y)</math>中确定一个相应的元素，从而局部确定了一个普通函数。
[[File:Multivalued_function.svg|right|frame|此图表示多值不紧合（proper，即单值）[[函数]]，''X''中的元素3同事对应''Y''中的两个元素''b''、''c''。]]

== 例子 ==
函数的[[极值点]]一般来说是多值的。例如，<math>\operatorname{argmax}_{x \in \mathbb{R}}  \cos(x) = \{2 \pi k\mid k \in \mathbb{Z}\}</math>.

== 集值分析 ==
'''集值分析'''以[[数学分析]]与[[点集拓扑学]]的精神研究集合。

与只考虑点的集合不同，集值分析考虑的是集合的集合。若集合被赋予拓扑或从底拓扑空间集成了适当的拓扑，就可以研究其收敛性。

大部分集值分析通过[[数理经济学]]和[[最优控制]]的研究产生，部分是作为[[凸分析]]的推广。Tyrrell Rockafellar、Roger J-B Wets、Jonathan Borwein、Adrian Lewis、Boris Mordukhovich等人用“[[变分分析]]”指代。在优化理论中，近似[[次导数]]向次导数的收敛，对于理解最小化点的必要或充分条件非常重要。

点值分析中以下概念可以推广到集值分析中：[[连续性]]、[[微分]]、[[积分]]、<ref>{{cite journal |last=Aumann |first=Robert J. |author-link=Robert Aumann |year=1965 |title=Integrals of Set-Valued Functions |journal=[[Journal of Mathematical Analysis and Applications]] |volume=12 |issue=1 |pages=1–12 |doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1 |doi-access=free}}</ref>[[隐函数定理]]、[[压缩映射]]、[[测度]]、[[不动点定理]]、<ref name="kakutani">{{cite journal |last=Kakutani |first=Shizuo |author-link=Shizuo Kakutani |year=1941 |title=A generalization of Brouwer's fixed point theorem |journal=[[Duke Mathematical Journal]] |volume=8 |issue=3 |pages=457–459 |doi=10.1215/S0012-7094-41-00838-4}}</ref>[[最优化]]与[[拓扑度定理]]。其中，[[方程]]被推广为[[子集|包含（inclusion）]]，微分方程被推广为[[微分包含式]]。

可以区分[[连续性]]的多种推广，如[[闭图性]]与上下[[拟弱连续性]]{{efn|有人用“半连续性”。}}。此外还有各种将[[测度]]推广为多函数的方法。

== 应用 ==
集值函数见于[[优化控制]]，特别是[[微分包含式]]及[[博弈论]]等领域，其中集值函数的[[角谷不动点定理]]已被用于证明[[纳什均衡]]的存在性。这与通过连续函数逼近上半连续函数的很多其他性质松散地联系起来，解释了为什么上半连续性更受欢迎。

但正如[[米歇尔选择定理]]指出的，下半连续多函数常有连续选择，提供了[[仿紧空间]]的另一个特征。<ref>{{cite journal |author=Ernest Michael |author-link=Ernest Michael |date=Mar 1956 |title=Continuous Selections. I |url=http://www.renyi.hu/~descript/papers/Michael_1.pdf |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=63 |pages=361–382 |doi=10.2307/1969615 |jstor=1969615 |number=2 |hdl=10338.dmlcz/119700 |access-date=2024-03-08 |archive-date=2016-03-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160303231605/http://www.renyi.hu/~descript/papers/Michael_1.pdf |dead-url=yes }}</ref><ref>{{cite journal |author1=Dušan Repovš |author1-link=Dušan Repovš |author2=P.V. Semenov |year=2008 |title=Ernest Michael and theory of continuous selections |journal=Topology Appl. |volume=155 |pages=755–763 |arxiv=0803.4473 |doi=10.1016/j.topol.2006.06.011 |number=8|s2cid=14509315 }}</ref>Bressan-Colombo定向连续选择、Kuratowski与Ryll-Nardzewski可测选择定理、Aumann可测选择、可分解映射Fryszkowski选择之类的其他选择定理在[[最优控制]]和[[微分包含式]]中都很重要。

== 注释 ==
{{Notelist}}

== 参考文献 ==
<references />

== 阅读更多 ==
* K. Deimling, ''[https://books.google.com/books?id=D9pgTAujcKcC Multivalued Differential Equations] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=D9pgTAujcKcC |date=20230423193440 }}'', Walter de Gruyter, 1992
* C. D. Aliprantis and K. C. Border, ''Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
* J. Andres and L. Górniewicz, ''[https://books.google.com/books?id=PanqCAAAQBAJ&q=multivalued Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=PanqCAAAQBAJ&q=multivalued |date=20230511043831 }}'', Kluwer Academic Publishers, 2003
* J.-P. Aubin and A. Cellina, ''Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory'', Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
* J.-P. Aubin and [[Hélène Frankowska|H. Frankowska]], ''Set-Valued Analysis'', Birkhäuser, Basel, 1990
* [[Dušan Repovš|D. Repovš]] and P.V. Semenov, [https://www.springer.com/gp/book/9780792352778?cm_mmc=sgw-_-ps-_-book-_-0-7923-5277-7 ''Continuous Selections of Multivalued Mappings''] {{Wayback|url=https://www.springer.com/gp/book/9780792352778?cm_mmc=sgw-_-ps-_-book-_-0-7923-5277-7 |date=20210807101830 }}, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
* E. U. Tarafdar and M. S. R. Chowdhury, [https://books.google.com/books?id=Cir88lF64xIC ''Topological methods for set-valued nonlinear analysis''], World Scientific, Singapore, 2008
* {{cite journal |last1=Mitroi |first1=F.-C. |last2=Nikodem |first2=K. |last3=Wąsowicz |first3=S. |year=2013 |title=Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions |journal=Demonstratio Mathematica |volume=46 |issue=4 |pages=655–662 |doi=10.1515/dema-2013-0483 |doi-access=free}}

== 另见 ==
* [[选择定理]]
* [[乌尔塞斯库定理]]
* [[二元关系]]

[[Category:变分分析]]
[[Category:数学最佳化]]
[[Category:控制理论]]