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在統計學中，'''集中趨勢'''（central tendency）或'''中央趨勢'''，在口語上也經常被稱為'''平均'''，表示一個[[機率分佈]]的中間值<ref name="Weisberg">Weisberg， H. F. (1992) ''Central Tendency and Variability'', Sage University Paper Series on Quantitative Applications in the Social Sciences, ISBN 0-8039-4007-6 p.&nbsp;2.</ref>。最常見的幾種集中趨勢包括[[算數平均數]]、[[中位數]]及[[众数 (数学)|眾數]]。集中趨勢可以由有限的數組（如一群[[樣本 (統計學)|樣本]]）中或理論上的機率分配（如[[常態分佈]]）中求得。有些人使用集中趨勢（或'''集中性'''）這個詞以表示「數量化的資料之中央值的趨勢」<ref name="Dodge">Dodge, Y. (2003) ''The Oxford Dictionary of Statistical Terms'', OUP for [[International Statistical Institute]]. ISBN 0-19-920613-9 (entry for "central tendency") </ref><ref name="Upton">Upton, G.; Cook, I. (2008) ''Oxford Dictionary of Statistics'', OUP ISBN 978-0-19-954145-4 (entry for "central tendency") </ref>。在這種意義下，我們可以利用[[資数据]]的[[離散程度]]（例如[[標準偏差]]或[[四分差]]等相似的統計量）判別其集中趨勢的程度。

集中趨勢（'''{{lang|en|central tendency'''}}）一詞於1920年代後期出現<ref name="Upton" />。

==集中趨勢的統計量==

一維資料的集中趨勢可能有以下數種統計方法。在某些情況下，經{{link-en|轉型 (統計學)|Data transformation (statistics)|轉型}}（{{lang|en|data transformation}}）後的資料才採用以下的方法。

;[[算术平均数]] : 觀測值的總和除以觀測值的個數，即<math> \tfrac{x_1 + x_2 + x_3 \ldots + x_n}{n} </math>。常簡稱為平均數，也往往是背後機率分佈的期望值之不偏估計。
;[[中位數]] : 將所有觀測值按大小排序後在順序上居中的數值。
;[[众数 (数学)|眾數]]: 出現最多次的觀測值。
;[[幾何平均數]] : 觀測值的乘積之觀測值個數方根，即<math> (x_1 \times x_2 \times x_3 \ldots \times x_n)^{\frac{1}{n}} </math>  
;[[調和平均數]] : 觀測值個數除以觀測值倒數的總和，即<math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}</math>
;[[加權平均數]] : 考慮不同群資料貢獻程度不同時的算數平均數
;[[截尾平均數]]（{{lang|en|truncated mean}}） : 忽略特定比例或特定數值之外的極端值後所得的平均數。例如，{{tsl|en|Interquartile_mean|四分平均數}}（{{lang|en|interquartile mean}}）正是忽略25%前及75%後的資料後所得的算數平均數。
;{{tsl|en|Midrange|中程數}}（{{lang|en|midrange}}）又稱'''全距中值'''<ref>{{Cite web | url = http://terms.naer.edu.tw/detail/2119711/ | title = 中程數 mid-range | access-date = 2019-12-03 | archive-date = 2019-12-03 | archive-url = https://web.archive.org/web/20191203192532/http://terms.naer.edu.tw/detail/2119711/ | dead-url = no }}</ref> : 最大值與最小值的算數平均數，即<math>\frac{\min (x) + \max (x)}{2}</math>。
;{{tsl|en|Midhinge|中樞紐}}（{{lang|en|midhinge}}） : 第一[[四分位數]]與第三[[四分位數]]的算數平均數，即<math>\frac{Q_1 + Q_3}{2}</math>。
;[[三均值]]（{{lang|en|trimean}}） : 考慮三個四分位數的加權平均數，即<math>\frac{Q_1 + 2Q_2 + Q_3}{4}</math>。
;{{tsl|en|Winsorized_mean|極端值調整平均數}}（{{lang|en|winsorized mean}}） : 以最接近的觀測值取代特定比例的極端值後取得的算數平均數。舉例來說，考慮10個觀測值（由小到大排列為<math>x_1</math>至<math>x_{10}</math>）的情況下，10%的極端值調整平均數為
:: <math>\frac{\overbrace{x_2 + x_2} + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 + \overbrace{x_9 + x_9}}{10}</math>，
: 其中分別以<math>x_2</math>和<math>x_9</math>取代了<math>x_1</math>和<math>x_{10}</math>。

以上的統計量在多維變數中仍可單獨地被套用在各個維度上進行，但並不能保證在轉軸後仍維持一致的結果。

==平均數、中位數與眾數的關係==

[[File:Median exp.svg|缩略图|右|在指數分配exp(λ)中，期望值為1/λ而中位數為(ln 2)/λ，二者並不一致。]]

在左右對稱的機率分佈中，不同的集中趨勢統計量有相同結果，但在偏度遠離0時則可能不一致。在單峰型的機率分佈（{{lang|en|unimodal probability distribution}}）中，平均數（''μ''）、中位數（''ν''）與眾數（''θ''）的關係如下：<ref name=Johnson1951>Johnson NL, Rogers CA (1951) "The moment problem for unimodal distributions". ''Annals of Mathematical Statistics'', 22 (3) 433–439</ref>

: <math> \frac{| \theta - \mu |}{ \sigma } \le \sqrt{ 3 }</math>，

: <math> \frac{| \nu - \mu |}{ \sigma } \le \sqrt{ 0.6 }</math>，

: <math> \frac{| \theta - \nu |}{ \sigma } \le \sqrt{ 3 }</math>，

其中''σ''為[[標準偏差]]。至於任一機率分佈，<ref name=Hotelling1932>Hotelling H, Solomons LM (1932) The limits of a measure of skewness. Annals Math Stat 3, 141–114</ref><ref name=Garver1932>Garver (1932) Concerning the limits of a mesuare of skewness. Ann Math Stats 3(4) 141–142</ref> 

: <math> \frac{| \nu - \mu |}{ \sigma } \le 1</math>。

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

{{-}}
{{统计学}}

[[Category:统计学]]
[[Category:多變量統計]]