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'''隸屬函數'''（'''membership function'''）也稱為'''歸屬函數'''或'''模糊元函數'''，是[[模糊集合]]中會用到的函數，是一般[[集合 (数学)|集合]]中[[指示函數]]的一般化<ref name="Ross2005">{{cite book|author=Timothy J. Ross|title=Fuzzy Logic with Engineering Applications|url=http://books.google.com/books?id=3zcgIKPl8L0C&pg=PA178|date=8 April 2005|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-86076-2|pages=178–}}</ref>。指示函數可以說明一個集合中的元素是否屬於特定子集合。一元素的指示函數的值可能是0或是1，而一元素的隸屬函數會是0到1之間的數值，表示元素屬於某模糊集合的「真實程度」（degree of truth）。

例如[[質數]]為一集合，整數3屬於質數，其指示函數為1，整數4不屬於質數，其指示函數為0。但針對模糊集合，可能不會有如此明確的定義，假設胖子是模糊集合，可能體重80公斤的人其隸屬函數為0.9，體重70公斤的人其隸屬函數為0.8。

隸屬函數數值是在0到1之間，看似類似[[機率]]，但兩者是不同的概念。

隸屬函數最早是由[[盧菲特·澤德]]在1965年第一篇有關模糊集合的論文中提及，他在模糊集合的論文中，提出用值域在0到1之間的隸屬函數，針對定義域中所有的數值定義。

==定義==

針對集合<math>X</math>，集合<math>X</math>上的隸屬函數是將集合<math>X</math>映射到單位實數區間<math>[0,1]</math>的函數。

<math>X</math>集合上的隸屬函數對應<math>X</math>集合中的[[模糊集合|模糊子集]]。對應模糊集合<math>\tilde A</math>的隸屬函數一般會用<math>\mu_A</math>來表示。針對集合中的元素<math>X</math>，<math>\mu_A(x)</math>的數值稱為<math>x</math>對應模糊集合<math>\tilde A</math>的隸屬度，表示符合模糊集合<math>\tilde A</math>的程度。0表示元素<math>x</math>不是模糊集合的元素，1表示元素<math>x</math>是模糊集合的元素，0到1之間的值表示此元素部份符合模糊集合。

<center>[[File:Fuzzy crisp.svg]]</center>
<center>模糊集合的隸屬函數</center>

有時<ref>最早是Goguen (1967).</ref>會用一個更通用的定義，隸屬函數的值可以是任意的固定代數或是[[数学结构]]中取值<math>L</math>，一般會要求<math>L</math>至少是[[偏序关系]]或是[[格 (数学)]]。一般值在[0,&nbsp;1]之間的隸屬函數此時會稱為[0,&nbsp;1]-值隸屬函數。
<!-- this is only true for so-called normal fuzzy sets:
The following holds for the functional values of the membership function <math>\mu_{A}(x)</math>
<center><math>
\mu_{A}(x)\ge0\quad\forall\quad x\in\mathbf{X}</math>
<br>
<math>\sup_{x\in X}[\mu_{A}(x)]=1</math></center>-->

== 容度 ==
隸屬函數的一個應用是在[[決策理論]]中的容度（capacity）。

在[[決策理論]]中，容度定義為函數<math>\nu</math>，其定義域'''S'''是某個集合的子集，值域為<math>[0,1]</math>，函數<math>\nu</math>滿足集合定義上的單調而且正規化（也就是<math>\nu(\empty) = 0, \nu(\Omega)=1</math>）。這是廣義的{{le|機率量測|Probability measure}}，其中可數可加性的[[概率公理]]不一定要成立。容度用來表示某一事件可能性的量測，而特定結果下，其容度的期望值可以對容度作{{le|Choquet積分|Choquet integral}}求得。

==相關條目==
*[[去模糊化]]
*{{le|模糊量測理論|Fuzzy measure theory}}
*{{le|模糊集合運算|Fuzzy set operations}}
*[[粗集合]]
*[[模糊控制]]

==參考資料==
{{reflist}}

==參考書籍==
*Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". ''Information and Control'' '''8''': 338–353. [https://web.archive.org/web/20070622151801/http://www-bisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/Fuzzy%20Sets-1965.pdf]
*Goguen J.A, 1967, "''L''-fuzzy sets". ''Journal of Mathematical Analysis and Applications'' '''18''': 145–174

[[Category:模糊邏輯]]