查看“︁隨機微分方程”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
}}
{{Differential equations}}{{Rough translation|time=20240806}}

'''隨機微分方程'''（{{lang-en|SDE, stochastic differential equation}}），是[[微分方程|常微分方程]]的擴展，其项是[[随机过程]]，解也是随机过程。<ref name="rogerswilliams">{{Cite book|last1=Rogers |first1=L.C.G. |author-link1=Chris_Rogers_(mathematician)|last2=Williams | first2 = David| author-link2=David_Williams_(mathematician)| edition= 2nd ed., Cambridge Mathematical Library|title=Diffusions, Markov Processes and Martingales, Vol 2: Ito Calculus |publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2000 | isbn=0-521-77594-9 | oclc=42874839 | doi= 10.1017/CBO9780511805141 }}</ref>其形容一個隨機變數的變動過程，也就是常微分方程加上一個[[白雜訊|白噪音]]項<ref>{{Cite book|title=金融數學與隨機微積分|last=陳|first=松男|isbn=9789574145089}}</ref>。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的[[導數]]不可定義，所以一般解微分方程的概念不適用於隨機微分方程。SDE在纯数学中有许多应用，可用于模拟随机[[数学模型|模型]]的各种行为，如[[股价]]<ref name="musielarutkowski">Musiela, M., and Rutkowski, M. (2004), Martingale Methods in Financial Modelling, 2nd Edition, Springer Verlag, Berlin.</ref>、随机增长模型<ref name="oksendal"/>或受[[热涨落]]影响的物理系统。

SDE具有随机的微分，在最基本的情形下是以[[布朗运动]]导数计算的[[白噪声]]，更一般地说是[[半鞅]]。不过，也可能存在其他随机行为，如[[莱维过程]]等[[跳跃过程]]<ref>Kunita, H. (2004). Stochastic Differential Equations Based on Lévy Processes and Stochastic Flows of Diffeomorphisms. In: Rao, M.M. (eds) Real and Stochastic Analysis. Trends in Mathematics. Birkhäuser Boston. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2054-1_6</ref>或有跳跃的半鞅。随机微分方程还可扩展到[[微分流形]]。<ref>{{Cite journal|last1=Imkeller|first1=Peter|last2=Schmalfuss|first2=Björn|date=2001|title=The Conjugacy of Stochastic and Random Differential Equations and the Existence of Global Attractors|url=http://dx.doi.org/10.1023/a:1016673307045|journal=Journal of Dynamics and Differential Equations|volume=13|issue=2|pages=215–249|doi=10.1023/a:1016673307045|s2cid=3120200|issn=1040-7294|access-date=2023-10-15|archive-date=2023-03-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20230307163744/https://dx.doi.org/10.1023/a:1016673307045|dead-url=no}}</ref><ref name="Emery">Michel Emery (1989). Stochastic calculus in manifolds. Springer Berlin, Heidelberg. Doi  https://doi.org/10.1007/978-3-642-75051-9</ref><ref>Zdzisław Brzeźniak and [[K. David Elworthy|K. D. Elworthy]], Stochastic differential equations on Banach manifolds, Methods Funct. Anal. Topology 6 (2000), no. 1, 43-84.</ref><ref name="sdesjets">Armstrong J. and [[Damiano Brigo|Brigo D.]] (2018). Intrinsic stochastic differential equations as jets. Proc. R. Soc. A., 474: 20170559, 
http://doi.org/10.1098/rspa.2017.0559</ref>

隨機微分方程的概念最早以[[布朗運動]]的形式，由[[阿爾伯特·愛因斯坦]]在《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》論文中提出。这项研究隨後由[[保羅·朗之萬]]继续。此後[[伊藤清]]和{{link-en|鲁斯兰斯特拉托诺维奇|Ruslan Stratonovich}}完善了隨機微分方程的數學基礎，使得這門領域更加的科學嚴謹。
一般而言，隨機微分方程的解是一[[隨機過程]]函數，但解方程需要先定義隨機過程函數的[[微分]]。最常見的定義為根據[[伊藤清]]所創，假設''B''為[[布朗運動]]，則對於某函數''H''，作以下定積分之定義：
:<math>\int_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).</math>
此稱為[[伊藤積分]]。伊藤式的隨機微分方程常用於在[[金融數學]]中。

==背景==
随机微分方程源于[[爱因斯坦]]和Marian Smoluchowski提出的[[布朗运动]]理论（1905），不过Louis Bachelier是第一个建立布朗运动模型的人（1900），给出了一个非常早期的SDE实例，即现在所谓Bachelier模型。一些早期例子是线性SDE，也称为郎之万方程，得名于法国物理学家[[保罗·郎之万]]，描述了谐振子在随机力作用下的运动。1940年代，日本数学家[[伊藤清]]发展了SDE的数学理论，提出了[[随机分析]]的概念，并开启了非线性随机微分方程的研究。后来，苏联物理学家{{Le|鲁斯兰·斯特拉托诺维奇|Ruslan Stratonovich}}提出了另一种方法，产生了类似于普通微积分的[[随机积分]]。

===术语===
文献中，SDE最常见的形式是[[常微分方程]]，右式由一个取决于[[白噪音]]变量的扰动项。大多数时候SDE被理解为相应[[随机差分方程]]的连续时间极限，这种SDE理解是模糊的，必须辅以相应积分的适当数学定义。<ref name="rogerswilliams"/><ref name="oksendal"/>这种数学定义由[[伊藤清]]提出于1940年代，产生了[[伊藤积分]]。后来，苏联物理学家{{Le|鲁斯兰·斯特拉托诺维奇|Ruslan Stratonovich}}提出了另一种构造，即所谓[[随机积分]]，与伊藤积分是相关但不同的对象，选择取决于具体应用。[[伊藤积分]]以非预期性或因果性概念为基础，这在以时间为变量的应用中很自然。而随机积分的规则则与普通微积分相似，且具有内在的几何特性，使它在处理[[流形]]上的随机运动等问题时更自然。尽管通过伊藤SDE来模拟流形上的随机运动也是可能的，且有时更可取<ref name="Emery"/>，例如在试图优化逼近子流形上的SDE时。<ref name="armstrongprojection">Armstrong, J., Brigo, D. and Rossi Ferrucci, E. (2019), Optimal approximation of SDEs on submanifolds: the Itô-vector and Itô-jet projections. Proc. London Math. Soc., 119: 176-213. https://doi.org/10.1112/plms.12226.</ref> 

SDE的另一种观点是微分同胚的随机流，这种理解十分确定，相当于随机差分方程连续时间极限的斯特拉托诺维奇版本。与SDE相关的是[[Smoluchowski equation]]或[[福克-普朗克方程]]，是描述[[概率分布函数]]随时间演化的方程。随机演化算符的概念将福克-普朗克演化推广为微分形式的时间演化。

在物理科学中，“郎之万SDE”存在歧义：可以是更一般的形式，但通常指一类具有梯度流向量场的狭义SDE。这类SDE很受欢迎，是Parisi–Sourlas随机量子化过程的起点，<ref>{{Cite journal|last1=Parisi|first1=G.|last2=Sourlas|first2=N.|date=1979|title=Random Magnetic Fields, Supersymmetry, and Negative Dimensions |journal=Physical Review Letters|volume=43|issue=11|pages=744–745|doi=10.1103/PhysRevLett.43.744|bibcode=1979PhRvL..43..744P}}</ref>产生了与[[超对称量子力学]]密切相关的N=2超对称模型。但从物理角度来看，这类SDE不怎么有趣，因为从未表现出拓扑超对称性的自发破缺：（过阻尼）郎之万SDE永不混沌。

===随机分析===
人们发现[[布朗运动]]或[[维纳过程]]在数学上异常复杂：[[维纳过程]]几乎肯定不可微，<ref name="rogerswilliams"/><ref name="oksendal"/>因此要有自己的分析规则。随机分析有[[伊藤积分]]和[[随机积分]]两个版本，各有利弊，初学者往往搞不清楚特定问题用哪个更合适。有些指南(e.g. Øksendal, 2003)<ref name="oksendal">{{cite book
| last = Øksendal
| first = Bernt K.
| author-link = Bernt Øksendal
| title=Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications
| publisher=Springer
| location = Berlin
| year=2003
| isbn=3-540-04758-1
}}</ref>，人们可以很方便地将伊藤SDE变换为等价的随机SDE，反之亦然。<ref name="rogerswilliams"/><ref name="oksendal"/>不过，最初写下SDE时还是要决定使用哪种积分。

===数值求解===
解SDE的数值方法<ref name="kloeden">Peter E. Kloeden, Eckhard Platen (1992). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Berlin, Heidelberg. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5</ref>有[[欧拉-丸山法]]、[[米尔斯坦法]]和[[龙格-库塔法]]。

==物理学中的应用==
{{See also|郎之万方程}}
物理学中，SDE具有广泛的适用性，从分子动力学到神经动力学，再到天体动力学，不一而足。更具体地说，SDE描述了所有动力系统，其中量子效应要么不重要，要么可以作为扰动加以考虑。SDE可被视为[[动力系统理论]]对有噪模型的一种概括，这很重要，因为实际系统不可能与其环境完全隔离，总会受外部随机影响。

有一些标准化手段可通过引入新的未知数，将高阶方程转化为耦合的一阶方程组。以下是最常见的一类SDE：

:<math>\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = F(x(t)) + \sum_{\alpha=1}^ng_\alpha(x(t))\xi^\alpha(t),\,</math>

其中<math>x\in X </math>是系统在相（或状态）空间中的位置，设<math>X</math>是可微流形，<math>F\in TX</math>是表示确定演化规律的流向量场，<math>g_\alpha\in TX </math>是一组向量场，定义了系统与高斯白噪声<math>\xi^\alpha</math>的耦合。若<math> X </math>是线性空间，<math>g</math>是常数，则称系统受加性噪声影响，否则称系统受乘性噪声影响。这个术语有点误导性，它看上去像是有<math> g(x) \propto x</math>的约束，实际上意味着一般情形。

对于固定的噪声，SDE存在唯一解，对初始条件可微。<ref>{{Cite journal|last=Slavík|first=A.|title=Generalized differential equations: Differentiability of solutions with respect to initial conditions and parameters|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|language=en|volume=402|issue=1|pages=261–274|doi=10.1016/j.jmaa.2013.01.027|year=2013|doi-access=free}}</ref>当将各种研究对象平均到噪声配置上时，随机情形的非平凡性便显露出来。乘性噪声SDE被理解为[[随机差分方程]]的连续时间极限时，并不是唯一确定的实体，而必须辅以所谓“SDE诠释”，如伊藤或斯特拉托诺维奇解释。然而，当把SDE看做微分同胚的连续时间随机流时，则成了唯一确定的[[数学对象]]，相当于随机差分方程连续时间极限的斯特拉托诺维奇法。

物理学中，主要的求解方法是利用等效的[[福克-普朗克方程]]（FPE）求出时间函数的[[概率分布]]函数。福克-普朗克方程是确定的[[偏微分方程]]，给出了概率分布函数随时间的演变，类似于[[薛定谔方程]]给出了量子波函数随时间的演变，或[[扩散方程]]给出了化学浓度随时间的演变。此外还可用[[蒙特卡洛方法]]获得数值解。其他手段还有利用统计物理学和[[量子力学]]之间的类比关系进行[[路径积分表述|路径积分]]（例如，福克-普朗克方程可通过缩放几个变量，变换为[[薛定谔方程]]），或写下[[概率分布函数]][[矩 (數學)|矩]]的[[常微分方程]]。{{Citation needed|date=August 2011}}

==在概率论和金融数学中的应用==
[[概率论]]（及概率论中的许多应用，如信号处理中的[滤波问题]]和[[金融数学]]中的应用）使用的符号略有不同。它也是解决SDE数值方法的文献所用的符号。这种记法使物理公式中时间随机函数<math>\eta_m</math>的奇异特性更加明确。从严格的数学角度来说，<math>\eta_m</math>不能作为普通函数来选择，而只能作为[[广义函数]]。数学公式在处理这问题时，比物理公式明确一些。

典型方程的形式是

:<math> \mathrm{d} X_t = \mu(X_t,t)\, \mathrm{d} t +  \sigma(X_t,t)\, \mathrm{d} B_t , </math>

其中<math>B</math>表示[[维纳过程]]（标准布朗运动）。方程被解释为表达相应[[积分方程]]（下式）的一种非正式方式。

:<math> X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) \mathrm{d} u + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, \mathrm{d} B_u . </math>

上式将连续时间[[随机过程]]''X''<sub>''t''</sub>的行为表为普通[[勒贝格积分]]与[[伊藤积分]]的和。对SDE的[[启发法]]（但非常有用）的解释是，在长为''δ''的微小时间区间内，随机过程''X''<sub>''t''</sub>值的变化遵循[[期望]]为''μ''(''X''<sub>''t''</sub>,&nbsp;''t'')&nbsp;''δ'' 、[[方差]]为''σ''(''X''<sub>''t''</sub>,&nbsp;''t'')<sup>2</sup>&nbsp;''δ'' 的[[正态分布]]，且与过程过去的行为无关。这是因为，维纳过程的增量是独立的正态分布。函数''μ''称为漂移系数，''σ''称为扩散系数。随机过程''X''<sub>''t''</sub>称为[[扩散过程]]，满足[[马尔可夫性质]]。<ref name="rogerswilliams" />

SDE的形式解释可据SDE解的构成给出。SDE的解主要有两种定义，有强解和弱解<ref name="rogerswilliams" />，都要求存在一个能解SDE积分方程形式的过程''X''<sub>''t''</sub>。两者的差别在于依赖的[[概率空间]](<math>\Omega,\, \mathcal{F},\, P</math>)，弱解包括一个概率空间和满足积分方程的过程，强解则包含满足方程并定义在给定概率空间上的过程。

一个重要例子是[[几何布朗运动]]方程

:<math>\mathrm{d} X_t = \mu X_t \, \mathrm{d} t +  \sigma X_t \, \mathrm{d} B_t.</math>
即金融数学中[[布莱克-舒尔斯模型]]中的股价动态方程。<ref name="musielarutkowski" />
推广几何布朗运动还可定义允许强解的SDE，分布是来自不同几何布朗运动或布莱克-舒尔斯模型的密度的凸组合，从而得到一个单一的SDE，其解的分布是不同布莱克-舒尔斯模型的对数正态分布的混合动力。<ref name="musielarutkowski"/><ref>Fengler, M. R. (2005), Semiparametric modeling of implied volatility, Springer Verlag, Berlin. DOI https://doi.org/10.1007/3-540-30591-2</ref><ref>{{cite journal | title = Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles | first1 = Damiano | last1 = Brigo | author-link1 = Damiano Brigo | first2 = Fabio | last2 = Mercurio | author-link2 = Fabio Mercurio | pages = 427–446 | journal = International Journal of Theoretical and Applied Finance | volume = 5 | year = 2002 | issue = 4 | doi = 10.1142/S0219024902001511 }}</ref><ref>Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G. (2003). Alternative asset-price dynamics and volatility smile, QUANT FINANC, 2003, Vol: 3, Pages: 173 - 183, {{ISSN|1469-7688}}</ref>这就产生了可以处理金融数学中所谓[[波动性微笑]]的模型。

更简单的SDE被称为算术布朗运动<ref name="oksendal"/>  

:<math>\mathrm{d} X_t = \mu \, \mathrm{d} t +  \sigma  \, \mathrm{d} B_t</math>

Louis Bachelier在1900年将其作为第一个股价模型，即今天所谓Bachelier模型。
 
还有一些更一般的随机微分方程，其中的系数''μ''、''σ''不仅取决于过程''X''<sub>''t''</sub>的现值，还取决于过程的前值，还可能取决于其他过程的现值或前值。这样，解过程''X''便不是马尔可夫过程或扩散过程，而称为伊藤过程。当系数只取决于''X''的现值和前值时，定义方程称为随机延迟微分方程。

将带[[斯特拉托诺维奇积分]]的SDE推广到带跳跃的半鞅的是马库斯型SDE。马库斯积分是McShane随机积分的推广。<ref>{{citation|author=Steven Marcus|date=1981|pages=223–245|periodical=Stochastics|title=Modeling and approximation of stochastic differential equation driven by semimartigales|volume=4}}<!-- auto-translated by Module:CS1 translator --></ref>

[[奥恩斯坦-乌伦贝克过程]]过程方程在随机金融学中有创新应用：
 
:<math>\mathrm{d} R_t = \mu R_t \, \mathrm{d} t +  \sigma_t \, \mathrm{d} B_t.</math>
 
是在收益率呈[[对数正态分布]]的条件下，股价收益率的动态方程。在此假设下，Marcello Minenna开发的方法确定了预测区间，能识别可能隐藏[[市场滥用]]现象的异常收益。<ref>{{cite web |url=https://www.risk.net/regulation/1528679/detecting-market-abuse |title=Detecting Market Abuse |publisher=Risk Magazine |access-date=2023-10-15 |archive-date=2023-05-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230518104051/https://www.risk.net/regulation/1528679/detecting-market-abuse |dead-url=no }}</ref> <ref>{{cite web |url=https://www.consob.it/documents/1912911/2006254/qdf54en.pdf/d31b160c-9ba5-e08d-d39d-a78bddfc698e |title=The detection of Market Abuse on financial markets: a quantitative approach |publisher=Consob – The Italian Securities and Exchange Commission |access-date=2023-10-15 |archive-date=2023-03-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230321212142/https://www.consob.it/documents/1912911/2006254/qdf54en.pdf/d31b160c-9ba5-e08d-d39d-a78bddfc698e |dead-url=no }}</ref>

=== 流形上的SDE ===
更一般地，可以将SDE理论扩展到[[可微流形]]上，并使用[[斯特拉托诺维奇积分]]。考虑流形<math>M</math>、某个有限维向量空间<math>E</math>、过滤概率空间<math>(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\in \R_{+}},P)</math>，其中<math>(\mathcal{F}_t)_{t\in \R_{+}}</math>满足通常条件，并令<math>\widehat{M}=M\cup \{\infty\}</math>为单点紧化，且<math>x_0</math>为<math>\mathcal{F}_0</math>可测。则<math>M</math>上的随机微分方程可写为
:<math>\mathrm{d}X=A(X)\circ dZ</math>
是一对<math>(A,Z)</math>使得
*<math>Z</math>是连续<math>E</math>值半鞅；
*<math>A:M\times E\to TM, (x,e)\mapsto A(x)e</math>是<math>M</math>上[[向量丛]]的同态。
<math>\forall x\in M</math>，映射<math>A(x):E\to T_{x}M</math>都是线性的，<math>\forall e\in E,\ A(\cdot)e\in \Gamma(TM)</math> for each <math></math>。

初始条件为<math>X_0=x_0</math>的<math>M</math>上的SDE的解是连续的<math>\{\mathcal{F}_t\}</math>适应的<math>M</math>值过程<math>(X_t)_{t<\zeta}</math>（寿命<math>\zeta</math>），且满足：对每个检验函数<math>f\in C_c^{\infty}(M)</math>，过程<math>f(X)</math>都是实值半鞅；对每个停止时间<math>\tau\ (0\leq \tau < \zeta)</math>，方程
:<math>f(X_{\tau})=f(x_0)+\int_0^\tau (\mathrm{d}f)_X A(X)\circ \mathrm{d}Z</math>
有<math>P</math>的把握成立，其中<math>(df)_X:T_xM\to T_{f(x)}M</math>是<math>X</math>处的[[微分形式]]。若寿命最大，它就是最大解，即
:<math>\{\zeta <\infty\}\subset\left\{\lim\limits_{t\nearrow \zeta}X_t=\infty \text{ in }\widehat{M}\right\}</math>
有<math>P</math>把握成立，由<math>f(X)</math>对每个检验函数<math>f\in C_c^{\infty}(M)</math>都是半鞅可知，<math>X</math>是<math>M</math>上的半鞅。给定最大解，可以将<math>X</math>的时间扩展到全部<math>\R_+</math>，然后在<math>\widehat{M}</math>上延拓<math>f</math>，可得
:<math>f(X_{t})=f(X_0)+\int_0^t (\mathrm{d}f)_X A(X)\circ \mathrm{d}Z, \quad t\geq 0</math>
（不可分过程）。<ref>{{cite book|first1=Wolfgang|last1=Hackenbroch|first2=Anton|last2=Thalmaier|publisher=Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden|title=Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale|date=1994 |isbn=978-3-519-02229-9|page=364-365|language=de}}</ref>

虽然斯特拉托诺维奇 SDE满足链式法则，其漂移、扩散系数在坐标变化时表现为向量场，因此是流形上SDE的自然选择，但有时伊藤积分更可取。流形伊藤积分理论是首先由[[洛朗·施瓦兹]]通过施瓦兹同态的概念提出，<ref name="Emery" />另见基于射流丛的流形上伊藤SDE的2-射流解释。<ref name="sdesjets" />当试图用给定空间上的SDE解与给定空间子曲面上的SDE解进行最佳近似时，这种解释很有帮助，<ref name="armstrongprojection" />因为基于斯特拉托诺维奇的投影达不到最佳效果。这已被应用于[[滤波问题]]，从而产生了最优投影滤波器。<ref name="armstrongprojection" />    

== 作为粗糙路径的SDE ==
SDE的求解需要概率设置，因为求解中隐含的积分是随机积分。若能逐路径处理微分方程，就不需要定义了，也就可以发展出独立于概率论的理论。
这就需要考虑SDE

:<math> \mathrm{d} X_t(\omega) = \mu(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} t +  \sigma(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} B_t(\omega) </math>

<math>\forall \omega \in \Omega</math>，都是唯一确定的微分方程，其中<math>\Omega</math>是给定概率空间（<math>\Omega,\, \mathcal{F},\, P</math>）的样本空间。然而，从路径上直接解释SDE是不可能的，因为布朗运动路径的变化无界且无处可微的概率为1，因此没有简单方法赋予<math>\mathrm{d} B_t(\omega)</math>之类的项以直观意义。这也排除了将随机积分定义为对每个<math>\mathrm{d} B_t(\omega)</math>的积分的简单路径定义。不过，受Wong-Zakai结果<ref name="frizhairer"/>对规则噪声的SDE解的极限的启发，利用粗糙路径理论，同时添加布朗运动迭代积分的选定定义，有可能为每个<math>\omega \in \Omega</math>定义确定的粗糙积分，例如，若特定选择迭代积分可实现与伊藤积分重合的概率为1。<ref name="frizhairer">Friz, P. and Hairer, M. (2020). A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures, 2nd ed., Springer-Verlag, Heidelberg, DOI 
 https://doi.org/10.1007/978-3-030-41556-3</ref>迭代积分的其他定义产生不同随机积分的确定性路径等价，如斯特拉托诺维奇积分。在金融数学中，这被用于无概率期权的定价。<ref name="optionswithoutprobability"> Armstrong, J., Bellani, C., Brigo, D. and Cass, T. (2021). Option pricing models without probability: a rough paths approach. Mathematical Finance, vol. 31, pages 1494–1521.</ref>

==解的存在性与唯一性==

与定微分方程一样，重要的是知道给定的SDE解的存在性和唯一性。下面是在n维欧氏空间'''R'''<sup>''n''</sup>中取值，并由m维布朗运动''B''驱动的伊藤SDE的典型存在性与唯一性定理；证明可见Øksendal (2003, §5.2)。<ref name="oksendal"/>

令''T''&nbsp;&gt;&nbsp;0，并使

:<math>\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n};</math>
:<math>\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m};</math>

为[[可测函数]]，存在常数''C''、''D''使

:<math>\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big);</math>
:<math>\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |;</math>

对所有''t''&nbsp;∈&nbsp;[0,&nbsp;''T'']、所有''x''与''y''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>，其中

:<math>| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}.</math>

令''Z''是独立于由''B''<sub>''s''</sub>（''s''&nbsp;≥&nbsp;0）生成的''σ''代数的随机变量，且有有限二阶矩：

:<math>\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty.</math>

则随机微分方程/初值问题

:<math>\mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t} \mbox{ for } t \in [0, T];</math>
:<math>X_{0} = Z;</math>
具有P-[[几乎必然]]独特''t''连续解(''t'',&nbsp;''ω'')&nbsp;↦&nbsp;''X''<sub>''t''</sub>(''ω'')，使''X''[[适应过程|适应]]由''Z''、''B''<sub>''s''</sub>(''s''&nbsp;≤&nbsp;''t'')生成的滤子''F''<sub>''t''</sub><sup>''Z''</sup>；另外

:<math>\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty.</math>

=== 一般情形：局部利普希茨条件与最大解===
上述SDE只是更一般形式的特例：
:<math>\mathrm{d}Y_t=\alpha(t,Y_t)\mathrm{d}X_t</math>
其中
* <math>X</math>是<math>\R^n</math>上的连续半鞅；<math>Y</math>是<math>\R^d</math>上的连续半鞅
* <math>\alpha:\R_{+}\times U \to \operatorname{Lin}(\R^{n};\R^{d})</math>是从某非空开集<math>U\subset \R^d</math>发出的映射，其中<math>\operatorname{Lin}(\R^{n};\R^{d})</math><math>\R^{n}</math>到<math>\R^{d}</math>的所有线性映射的空间
更一般地说，还可以研究[[流形]]上的SDE。

方程的解收不收敛取决于<math>\alpha</math>的选择。假设<math>\alpha</math>满足某局部利普希茨条件，即对<math>t\geq 0</math>和紧集<math>K\subset U</math>、常数<math>L(t,K)</math>，满足条件
:<math>|\alpha(s,y)-\alpha(s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,</math>
其中<math>|\cdot|</math>是欧氏范数。这一条件保证了所谓最大解的存在性和唯一性。

设<math>\alpha</math>连续、满足上述局部利普希茨条件，并设<math>F:\Omega\to U</math>为初始条件，即是关于初始σ-代数的可测函数。令<math>\zeta:\Omega\to \overline{\R}_{+}</math>为[[停时#停时的类型|可预测停时]]，<math>\zeta>0</math>几乎确定。<math>U</math>值半鞅<math>(Y_t)_{t<\zeta}</math>即下式方程的最大解
:<math>dY_t=\alpha(t,Y_t)dX_t,\quad Y_0=F</math>
若：
* 对<math>\zeta_n\nearrow\zeta</math>，停止过程<math>Y^{\zeta_n}</math>是下式停SDE的解：
::<math>\mathrm{d}Y=\alpha(t,Y)\mathrm{d}X^{\zeta_n}</math>
* 在集合<math>\{\zeta <\infty\}</math>上，几乎可以确定<math>Y_{t}\to\partial U\ (t\to \zeta)</math><ref>{{cite book|first1=Wolfgang|last1=Hackenbroch|first2=Anton|last2=Thalmaier|publisher=Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden|title=Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale|date=1994 |isbn=978-3-519-02229-9|pages=297–299|language=de}}</ref>
则<math>\zeta</math>称为寿命或所谓“爆炸时间”。

==能寫出解析解的SDE<ref name="kloeden"/>==

===線性SDE的一般解===
:<math>\mathrm{d}X_t=(a(t)X_t+c(t))\mathrm{d}t+(b(t)X_t+d(t))\mathrm{d}W_t</math>
:<math>X_t=\Phi_{t,t_0}\left(X_{t_0}+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}(c(s)-b(s)\mathrm{d}(s))\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}\mathrm{d}(s)\mathrm{d}W_s\right)</math>
其中
:<math>\Phi_{t,t_0}=\exp\left(\int_{t_0}^t\left(a(s)-\frac{b^2(s)}{2}\right)\mathrm{d}s+\int_{t_0}^tb(s)\mathrm{d}W_s\right)</math>

===可約SDE: Case 1===
:<math>\mathrm{d}X_t=\frac12f(X_t)f'(X_t)\mathrm{d}t+f(X_t)\mathrm{d}W_t</math>
對於一個可微函數 <math>f</math>，<math>\mathrm{d}X_t</math> 等價於 [[Stratonovich SDE|斯特拉托諾維奇 SDE]]
:<math>\mathrm{d}X_t=f(X_t)\circ W_t</math>
其有一般解
:<math>X_t=h^{-1}(W_t+h(X_0))</math>
其中的<math>h(x)</math>如下所示：
:<math>h(x)=\int^{x}\frac{\mathrm{d}s}{f(s)}</math>

=== 可約SDE: Case 2 ===
:<math>\mathrm{d}X_t=\left(\alpha f(X_t)+\frac12 f(X_t)f'(X_t)\right)\mathrm{d}t+f(X_t)\mathrm{d}W_t</math>
對於一個可微函數 <math>f</math>，<math>\mathrm{d}X_t</math> 等價於 [[Stratonovich SDE|斯特拉托諾維奇 SDE]]
:<math>\mathrm{d}X_t=\alpha f(X_t)\mathrm{d}t + f(X_t)\circ W_t</math>
可以簡化成下列形式:
:<math>\mathrm{d}Y_t=\alpha \mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t</math>
其中 <math>Y_t=h(X_t)</math> ，這裡的<math>h</math> 如上面所定義。他的一般解可以寫成
:<math>X_t=h^{-1}(\alpha t+W_t+h(X_0))</math>

== SDE与超对称 ==
{{Main|随机动力的超对称理论}}

在SDE的超对称理论中，随机动力是通过作用于模型相空间[[微分形式]]的随机演化算子定义的。在这一精确表述中，所有SDE都具有拓扑[[超对称性]]，即通过连续的时间流保持相空间连续性。这种超对称的自发破缺是[[混沌理论|混沌]]、[[湍流]]、[[自组织临界性]]等诸多动力现象的数学本质，而[[南部定理]]则解释了相关的长距动力行为，如[[蝴蝶效应]]、[[粉红噪声]]、[[爆裂声]]，以及地震、神经震荡、太阳耀斑等现象的无标统计等等。

==相关条目==
* [[维纳过程]]
* [[萊維过程]]
* [[佛客－普朗克方程式]]
* [[朗之萬方程式]]

* [[郎之万动力学]]
* [[反向随机微分方程]]
* [[局部波动]]
* [[随机过程]]
* [[随机波动]]
* [[随机偏微分方程]]
* [[扩散过程]]
* [[自回归模型]]

==参考文献==
{{Reflist}}

==阅读更多==
* {{cite book
| last = Adomian
| first = George
| title = Stochastic systems
| url = https://archive.org/details/stochasticsystem0000adom
| series = Mathematics in Science and Engineering (169)
| publisher = Academic Press Inc.
| location = Orlando, FL
| year = 1983
}}
* {{cite book
| last = Adomian
| first = George
| title = Nonlinear stochastic operator equations
| url = https://archive.org/details/nonlinearstochas0000adom
| url-access = registration
| publisher = Academic Press Inc.
| location = Orlando, FL
| year = 1986
}}
* {{cite book
| last = Adomian
| first = George
| title = Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics
| series = Mathematics and its Applications (46)
| publisher = Kluwer Academic Publishers Group
| location = Dordrecht
| year = 1989
}}
* {{cite book|last=Calin|first=Ovidiu|title=An Informal Introduction to Stochastic Calculus with Applications|publisher=World Scientific Publishing|location=Singapore|year=2015|isbn=978-981-4678-93-3|page=315}}
* {{cite book
| author = Teugels, J. and Sund B. (eds.)
| title = Encyclopedia of Actuarial Science
| publisher = Wiley
| location = Chichester
| year = 2004
| pages = 523&ndash;527
}}
* {{cite book
| author = C. W. Gardiner
| title = Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences
| publisher = Springer
| year = 2004
| page = 415
| author-link = Crispin Gardiner
}}
* {{cite book
| author = Thomas Mikosch
| title = Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View
| publisher = World Scientific Publishing
| location = Singapore
| year = 1998
|isbn = 981-02-3543-7
| page = 212
}}
* {{cite journal
| author = Seifedine Kadry
| title = A Solution of Linear Stochastic Differential Equation
| journal = Wseas Transactions on Mathematics
| publisher = WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, April 2007.
| location = USA
| year = 2007
|issn = 1109-2769
| page = 618
}}
* {{cite journal|last1=Higham.|first1=Desmond J.|title=An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations|journal=SIAM Review|date=January 2001|volume=43|issue=3|pages=525–546|doi=10.1137/S0036144500378302|bibcode=2001SIAMR..43..525H|citeseerx=10.1.1.137.6375}}
* Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, {{ISBN|978-1-611976-42-7}} (2021).
{{Authority control}}
{{Stochastic processes}}
[[Category:隨機微分方程]]
[[Category:微分方程]]
[[Category:随机过程]]