查看“︁隔板法”︁的源代码

'''隔板法'''是[[组合数学]]的方法，用来处理<math>n</math>个无差别的球放进<math>k</math>个不同的盒子的问题。可一般化为求[[不定方程]]的解数，并利用[[母函数#不定方程的解数|母函数]]解决问题。

'''隔板法'''与[[插空法]]的原理一样。<ref>{{cite journal|author=樊友年|year=1995|title=“插空法”应用系列|journal=数学通报|issue=1|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXTB501.008.htm|access-date=2014-05-06|archive-date=2019-01-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20190109182343/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXTB501.008.htm}}</ref>

==例子==
现在有<math>10</math>个球，要放进<math>3</math>个盒子里
:●●●●●●●●●●

隔<math>2</math>个板子，把<math>10</math>个球被隔开成<math>3</math>个部份
:●|●|●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●、●|●●●●|●●●●●、●|●●●●●|●●●●、●|●●●●●●|●●●、......

如此类推，<math>10</math>个球放进<math>3</math>个盒子的方法总数为<math>\binom {10-1}{3-1}=\binom {9}{2}=36</math>

<math>n</math>个球放进<math>k</math>个盒子的方法总数为<math>\binom {n-1}{k-1}</math>

问题等价于求<math>x_1+x_2+...+x_k=n</math>的可行解数，其中<math>x_1,x_2,...,x_k</math>为[[正整数]]。

==空盒子推广==
现在有<math>10</math>个球，要放进<math>3</math>个盒子里，并允许空盒子。考虑<math>10+3</math>个球的情况：

:●|●|●●●●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●●●●、●|●●●●|●●●●●●●●、●|●●●●●|●●●●●●●、......
每个盒子的球都被拿走一个，得到一种情况，如此类推：
:||●●●●●●●●●●、|●|●●●●●●●●●、|●●|●●●●●●●●、|●●●|●●●●●●●、|●●●●|●●●●●●、......

<math>n</math>个球放进<math>k</math>个盒子的方法总数（允许空盒子），等同於<math>n+k</math>个球放进<math>k</math>个盒子的方法总数（不允许空盒子），即<math>\binom {n+k-1}{k-1}</math><ref>{{cite journal|author=徐浩全|year=2010|title=“隔板法”在解不定方程方面的应用及其推广|journal=中学教学参考|issue=5|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZJCA201005032.htm|access-date=2014-04-28|archive-date=2018-10-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20181008191701/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZJCA201005032.htm}}</ref>

问题等价于求<math>x_1+x_2+...+x_k=n</math>的可行解数，其中<math>x_1,x_2,...,x_k</math>为[[非负整数]]。

<math>\binom {n+k-1}{k-1}</math>也是<math>(a_1+a_2+...+a_k)^n</math>展开式的项数<math>\sum_{n_1+n_2+...+n_k=n} 1</math><ref>{{cite journal|author=徐国文|year=2002|title=多项式(a1+a2+a3+…+am)~n展开式的项数|journal=高中数学教与学|issue=7|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-GSJX200207017.htm|access-date=2014-07-15|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304080248/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-GSJX200207017.htm}}</ref>

==参见==
*[[组合数]]
*[[多项式定理]]
*[[整数分拆]]

==参考资料==
{{reflist}}

[[Category:组合数学]]