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[[File:Ito Integral BdB.png|thumb|Ito Integral BdB]]
'''随机分析'''（{{lang|en|stochastic calculus}}）是对[[随机过程]]进行运算的[[概率论]]分支，主要内容有[[伊藤积分]]、[[随机微分方程]]（又包括[[随机偏微分方程]]和[[倒向随机微分方程]]）等等。

随机性模型是指含有[[随机]]成份的[[模型]]。与确定性模型的不同可以很好地用以下例子解释：在赌场里赌大小，如果有人认为三次连开大第四次必然开小，那么此人所用的既是确定性模型。但是常识告诉我们第四次的结果并不一定与之前的结果[[条件概率|相关联]]。在19世纪科学界深深地被[[黑天鹅效应]]和[[卡尔·波普尔]]的[[批判理性主义]]所影响。所以现代自然科学都以[[统计学|统计]]与归纳法作为理论基础。大体说统计学是適用确定性模型与随机性模型作比较的一门学科。

应用随机分析的最知名的随机过程是[[维纳过程]]（得名于[[诺伯特·维纳]]），用于模拟Louis Bachelier（1900）和[[爱因斯坦]]（1905）描述的[[布朗运动]]及受随机力作用的粒子在空间的其他[[扩散作用|扩散]]过程。1970年代以来，维纳过程被广泛用于[[金融数学]]和[[经济学]]中，以模拟股价和债券利率随时间演化的过程。

随机分析的主要形式是[[伊藤积分]]及其变分法相对的[[马利阿温积分]]。由于技术原因，伊藤积分对一般过程最有用，但相关的[[随机积分]]在问题的表述（尤其是工科）中也经常有用。随机积分可以很容易地转化为伊藤积分，反之亦然。随机积分的主要优点是遵循通常的[[链式法则]]，不需要[[伊藤引理]]，使问题可以用不变坐标系表达，这对于在'''R'''<sup>''n''</sup>以外的流形上发展随机分析非常重要。
但是，随机积分不遵循[[控制收敛定理]]；因此，若不以伊藤形式重新表达积分，就很难证明结果。

== 伊藤积分 ==
{{main|伊藤积分}}

[[伊藤积分]]是随机分析研究的核心。<math>\int H\,dX</math>是为[[半鞅]]''X''和局部有界'''可预测'''过程''H''定义的。{{Citation needed|date=August 2011}}

== 随机积分 ==
{{main|随机积分}}

[[半鞅]]<math>X</math>对另一个半鞅''Y'' 的随机积分，或Fisk–Stratonovich积分可用伊藤积分表示为

:<math>\int_0^t X_{s-} \circ d Y_s : = \int_0^t X_{s-} d Y_s + \frac{1}{2} \left [ X, Y\right]_t^c,</math>

其中[''X'',&nbsp;''Y'']<sub>''t''</sub><sup>''c''</sup>表示''X''、''Y''的连续部分的[[二次变差|二次协方差]]。代替的写法是
:<math>\int_0^t X_s \, \partial Y_s</math>

也用于表示随机积分。

== 参看 ==

* [[彭实戈]]
* [[伊藤清]]
* [[确定性模型]]
* [[伯努利试验|伯努利过程]]
* [[随机过程]]
* [[布朗运动]]
* [[马可夫过程]]
* [[莱维过程]]

{{math-stub}}

[[Category:随机过程]]
[[Category:金融数学]]
[[Category:积分学]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:统计学]]