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在[[群論]]這一[[數學]]的分支裡，'''階'''這一詞被使用在兩個相關連的意義上：
* 一個[[群]]的'''階'''是指其[[势 (数学)|-{zh-hans: 势; zh-hant: 基數}-]]，即其元素的個數；
* 一個群內的一個元素''a''之'''階'''（有時稱為'''週期'''）是指會使得''a''<sup>''m''</sup> = ''e''的最小正[[整數]]''m''（其中的''e''為這個群的[[單位元素]]，且''a''<sup>''m''</sup>為''a''的''m''次冪）。若沒有此數存在，則稱''a''有無限階。有限群的所有元素都有有限阶。

一個群''G''的階被標記為ord(''G'')或|''G''|，而一個元素的階則標記為ord(''a'')或|''a''|。

==例子==

'''例子'''：包含三個物件的所有[[置換]]之[[对称群 (n次对称群)|對稱群]]S<sub>3</sub>會有下面的[[凱萊表|乘法表]]。
:{| class="wikitable"
|-
!   ·
! ''e'' || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''e''
| <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''s''
| ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''v'' || ''w'' || ''t'' || ''u''
|-
! ''t''
| ''t'' || ''u'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''w'' || ''v''
|-
! ''u''
| ''u'' || ''t'' || ''w'' || <span style="color:#009246">''v''</span> || ''e'' || ''s''
|-
! ''v''
| ''v'' || ''w'' || ''s'' || ''e'' || <span style="color:#009246">''u''</span> || ''t''
|-
! ''w''
| ''w'' || ''v'' || ''u'' || ''t'' || ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span>
|}
這個群有六個元素，所以ord(S<sub>3</sub>)&nbsp;= 6。以定義可知，單位元素''e''的階為1。''s''、''t''和''w''的平方都為''e''，所以這些群元素的階都為2。剩下的，''u''和''v''的階為3，因為''u''<sup>2</sup>&nbsp;= ''v'' 且 ''u''<sup>3</sup>&nbsp;= ''vu''&nbsp;= ''e''，而''v''<sup>2</sup>&nbsp;= ''u'' 且 ''v''<sup>3</sup>&nbsp;= ''uv''&nbsp;= ''e''。

==階和結構==

由一個群或其內之元素的階可以大致知道群的結構。簡略地說，階的因式分解越複雜，這個群就會越複雜。

若群''G''的階為1，則這個群稱為[[平凡群]]。給定一元素''a''，則ord(''a'') = 1若且唯若''a''為其單位元素。若''G''內的每一個(非單位)元素和其逆元素相同(故''a''<sup>2</sup> = ''e'')，則ord(''a'') = 2且因此''G''會是個[[阿貝爾群]]，因為''ab''=(''bb'')''ab''(''aa'')=''b''(''ba'')(''ba'')''a''=''ba''。此一敘述的相反不一定為對；例如，[[整數]][[同餘]]6之(加法)[[循環群]]'''Z'''<sub>6</sub>為可換的，但數字2的階為3(2+2+2&nbsp;= 6 ≡ 0&nbsp;(mod&nbsp;6))。

階兩種概念之間的關係如下：若給出一個由''a''產生之[[子群]]
:<math>\langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \} </math>
則
:<math>\operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle).</math>

對於任一個整數''k''，會有「''a''<sup>''k''</sup> = ''e'' &nbsp; 若且唯若 &nbsp; ord(''a'') [[因數|整除]] ''k''」之關係。

一般來說，''G''的每個子群之階都會[[因數|整除]]''G''的階。更精確地來說：若''H''是''G''的一個子群，則
:ord(''G'') / ord(''H'') = [''G'' : ''H'']
，其中[''G'':''H'']是於''G''內的''H''之[[陪集|指標]]，為一整數。此為[[拉格朗日定理 (群論)|拉格朗日定理]]

上述會有一個立即的結論為，一個群的每一個元素之階都會整除此一群的階。例如，在上面所示之對稱群中，ord(S<sub>3</sub>)&nbsp;= 6，且其內元素的階分別為1、2或3。

下面的部份相反對[[有限群]]為真：若''d''會整除一個群''G''的階且''d''為一個[[質數]]，則存在一個內''G''內為''d''階的元素(這有時被稱為[[柯西定理 (群論)|柯西定理]])。此一敘述在其階為[[合數]]時並不成立，如[[克萊因四元群]]中即不存在一個4階的元素。這可以用[[數學歸納法]]來證明[https://web.archive.org/web/20060901072659/http://www.math.uconn.edu/~kconrad/math216/216cauchypf.pdf]。這個定理的結論包括：一個群''G''的階為一個質數''p''的次方若且唯若對每個在''G''內的''a''，ord(''a'')都是''p''的某個次方[https://web.archive.org/web/20060901072618/http://www.math.uconn.edu/~kconrad/math216/216cauchyapp.pdf]。

若''a''有無限階，則''a''的所有次方也都會有無限階。若''a''有有限階，則對於''a''的次方的階會有下列的公式：
:ord(''a''<sup>''k''</sup>) = ord(''a'') / [[最大公因數|gcd]](ord(''a''), ''k'')。
特別地是，''a''和其逆元素''a''<sup>-1</sup>會有相同的階。

並不存在一個將''a''和''b''的階關連到其乘積''ab''的階之一般公式。''a''和''b''都有著有限階而''ab''則有著無限階的情形還是有可能的。若''ab''=''ba''，則至少可知ord(''ab'')會整除[[最小公倍數|lcm]](ord(''a''),ord(''b''))。其結論可證明在一個有限[[阿貝爾群]]中，若''m''為所有群元素的階之中的最大值，則每一個元素的階都會整除''m''。

==用元素的階來計數==

若''G''是一個有''n''階的有限群，且''d''是''n''的因數，則''G''內有''d''階的元素個數會為φ(''d'')的倍數，其中φ為[[歐拉函數]]，為不大於''d''且[[互質]]於''d''的正整數之個數。例如，在S<sub>3</sub>的例子中，φ(3)&nbsp;=2，且確實有恰好兩個3階的元素。這個定理對為2階之元素沒有什麼有用的資訊，因為φ(2)&nbsp;= 1。

==與同態的關係==

[[群同態]]會縮減元素的階：若''f'':&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''H''是一個同態，且''a''是''G''內一個有限階的元素，則ord(''f''(''a''))會整除ord(''a'')。若''f''為[[單射]]的，則ord(''f''(''a''))&nbsp;= ord(''a'')。這通常可以被用來證明在兩個給定之離散群中不存在(單射)同態。(例如，不存在一個非當然同態''h'':&nbsp;S<sub>3</sub>&nbsp;→&nbsp;'''Z'''<sub>5</sub>，因為每個在'''Z'''<sub>5</sub>內除了0之外的元素都有著5階，而不可以整除在S<sub>3</sub>內有1、2、3階的元素。)更進一步的結論有[[共軛類|共軛元素]]會有相同的階。

==類方程==

一個關於階的重要結論為[[類方程]]；其將有限群''G''的階連結至其[[中心 (群論)|中心]]Z(''G'')的階和其非當然[[共軛類]]的多寡：
:<math>|G| = |Z(G)| + \sum_{i}d_i\;</math>
其中''d<sub>i</sub>''為非當然共軛類的多寡；其為|''G''|大於1的純因數，且會相等於某些''G''的非當然純子群的指標。例如，S<sub>3</sub>的中心為只有單位元素''e''之當然群，而此方程則讀做|S<sub>3</sub>|&nbsp;= 1+2+3。

==公開的問題==

一些有關群和其元素較深的問題包含在[[伯恩賽德問題]]裡；有些的問題至今仍然未解。

{{ModernAlgebra}}

[[category:群論|M]]