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{{NoteTA|G1=Physics}}
{{Quantum optics operators}}
在[[線性代數]]中（以及其在[[量子力學]]中的運用），'''升算符'''或'''降算符'''——集合起來稱為'''階梯算符'''——為可以將另一算符的[[本徵值]]分別做增加或減少的算符。在量子力學中，有時候升算符稱為[[創生算符]]，而降算符稱為[[消滅算符]]。階梯算符在量子力學中的著名應用是出現在[[量子諧振子]]以及[[角動量]]的形式中。

假設一阶梯算符X與一任意算符N有[[對易關係]]如下：
:<math>[N,X] \equiv NX - XN = cX\,</math>
''c''為某一[[标量 (数学)|純量]]。則算符''X''的作用會表現為：將算符''N''的一個本徵態<math>|n\rangle</math>，其本徵值移動了''c''：
{| style="margin-left: 2em;"
| <math>NX|n\rangle</math> || <math>{}= (XN+[N,X])|n\rangle</math>
|-
| ||<math>{} = (XN + cX)|n\rangle</math>
|-
| ||<math>{} = XN|n\rangle + cX|n\rangle</math>
|-
| ||<math>{} = Xn|n\rangle + cX|n\rangle</math>
|-
| ||<math>{} =(n+c)X|n\rangle</math>
|}

換句話說，若<math>|n\rangle</math>是算符<math>N</math>的一個本徵態，帶有本徵值''n''，則<math>X|n\rangle</math>也是''N''的一個本徵態，帶有本徵值''n'' + ''c''。對''N''來說，升算符是一個算符''X''使得''c''是正實數，而降算符則是使''c''是負實數。若''N''是[[厄米算符]]（Hermitian operator），則''c''必須要是實數，而''X''的[[厄米伴算符]]（Hermitian adjoint）''X''<sup>†</sup>遵守如下對易關係：
:<math>[N,X^\dagger] = -cX^\dagger \,</math>。特別是若''X''對''N''來說是降算符，則''X''<sup>†</sup>對''N''來說會是個升算符，反之亦然。

[[Category:物理算符|J]]