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在[[数学]]中，正整数的'''阶加'''（{{Lang-en|Termial}}）是所有[[小于]]及等于该数的[[正整数]]的和，计为{{Math|''n''?}}。例如：

: <math>5? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \,. </math>

根据[[空和]]的惯例，{{Math|0?}}的值为{{Math|0}}。

该术语是由[[高德纳]]在《[[计算机程序设计艺术]]》中创造的。它是从{{Math|1}}到{{Math|''n''}}的整数的[[积]]的[[階乘]]函数的加法模拟。他用它来说明[[定义域|域]]从正整数到[[实数]]的扩展。<ref name="Donald">Donald E. Knuth (1997). ''The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms''. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.</ref>

正整数的阶加也称为[[三角形數]]。<ref>{{Cite mathworld|title=Triangular Number|urlname=TriangularNumber|accessdate=30 December 2018|archive-date=2007-10-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20071008162737/http://mathworld.wolfram.com/TriangularNumber.html|dead-url=no}}</ref>最初的几个{{OEIS|A000217}}是

: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

== 历史 ==
18世纪以来，[[萊昂哈德·歐拉]]（[[萊昂哈德·歐拉|Leonhard Euler]]）和其他一些数学家一直试图将[[階乘|阶乘]]函数的[[定义域|域]]扩展到[[实数]]甚至[[复数 (数学)|复数]]，并最终提出了[[Γ函数]]。<ref name="Davis">{{Cite journal|title=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function|url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104|last=Davis|first=P. J.|date=1959|journal=[[American Mathematical Monthly]]|accessdate=30 December 2018|issue=10|doi=10.2307/2309786|volume=66|archive-date=2012-11-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20121107190256/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104}}</ref>1997年，[[高德纳]]在他的《[[计算机程序设计艺术]]》引入了阶加函数{{Math|''n''?}}，作为阶乘的[[加法]]模拟，以便说明域扩展的含义。<ref name="Donald">Donald E. Knuth (1997). ''The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms''. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.</ref>

== 定义 ==
阶加函数由和定义

: <math>n?  = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n\,,</math>

最初整数{{Math|''n'' ≥ 1}}。这可以用[[求和符号]]表示为

: <math>n? = \sum_{i = 1}^{n} i.</math>

从这些公式，可以得出[[遞迴關係式]]

: <math> n? = n +(n-1)? \,.</math>

例如：

: <math>\begin{align}
 5? &= 5 + 4? \\
 6? &= 6 + 5? \\
50? &= 50 + 49?
\end{align}</math>

可以使用[[等差数列]]的求和公式来计算阶加函数：

: <math>n?=\frac{n(n+1)}{2} \,.</math>

例如：<math>100? = \frac{100\times101}{2}=5050</math>

=== 零的阶加 ===
为了将递推关系扩展到{{Math|1=''n'' = 0}}，有必要定义

: <math>0? = 0 </math>

所以

: <math>1? = 1 + 0? = 1.</math>

=== 非整数的阶加 ===
非整数值的阶加函数也可以使用公式<math>n?=\frac{n(n+1)}{2}</math>。

例如：<math>(\frac{1}{2})? = \frac{3}{8}</math>

== 应用领域 ==
阶加在数学中不常使用，但它仍然在一些领域应用，如[[组合数学]]。

* 对于{{Math|''n''}}个不同的元素，[[組合]]{{Math|2}}个元素的方法数量等于{{Math|(''n''&nbsp;−&nbsp;1)?}}。这就是说

:: <math>{n \choose 2} = (n-1)?\,.</math>

* 在玩[[4個4]]时，阶加可以是找到所需表达式的有用工具，尤其是在规则不允许使用[[小數點]]和[[平方根]]的情况下（这是因为数字{{Math|0}}和{{Math|2}}是不可用的）。例如：

:: <math>13=4?+4-4\div4</math>
:: <math>18=4!+4?-4\times4</math>

== 阶加的和和函数 ==

=== 双阶加 ===
类似于双阶乘<ref>{{Cite mathworld|title=Double Factorial|urlname=DoubleFactorial|accessdate=30 December 2018|archive-date=2021-03-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210307033506/https://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html}}</ref>，所有奇数直到某个正奇整数{{Mvar|n}}的和称为{{Mvar|n}}的'''双阶加'''，和表示为{{Math|''n''??}}。定义为

: <math>(2k-1)?? = \sum_{i=1}^k (2i-1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-3)+(2k-1)\,.</math>

例如：<math>9??=1+3+5+7+9=25</math>.

{{Math|''n'' {{=}} 1, 3, 5, 7,...}}的双阶加是[[平方数]]序列。<ref>{{Cite mathworld|title=Square Number|urlname=SquareNumber|accessdate=30 December 2018|author=Goodman|first=Len|archive-date=2019-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20190326003503/http://mathworld.wolfram.com/SquareNumber.html|dead-url=no}}</ref>它开始为

: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...{{OEIS|id=A000290}}

=== 质数阶加 ===
'''质数阶加'''可以作为[[質數階乘]]的一个类似物，表示为{{Math|''n''§}}。它被定义为小于或等于{{Math|''n''}}的[[质数]]之和，即

: <math>n\S=p_{\pi(n)}\S = \sum_{i=1}^{\pi(n)} p_i\,,</math>

<math>\pi(n)</math>是[[素数计数函数]]。

例如：<math>11\S=p_5\S=2+3+5+7+11=28</math>

前几个结果是

: 0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...{{OEIS|id=A007504}}

=== 倒数阶加 ===
倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个[[調和數]]。<ref>Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. (1994). ''Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science'', 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 272–282.</ref>

: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =H_n.</math>

例如：<math>\sum_{i=1}^3 \frac{1}{i}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{11}{6}.</math>

== 参见 ==

* [[三角形數]]
* [[求和符号]]
* [[階乘]]
* [[階冪]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
[[Category:数学术语]]